제4장 작도

1. GSP의 기본기능

GSP는 점, 직선, 원을 이용하여 여러 기하학적 표현을 쉽고 명확히 구현 할 수 있으며, 그림은 빠르고 엄밀하게 도형들의 본질적인 관련성을 쉽고 명백하게 나타낼 수 있다. 특히, GSP는 각의 이등분선, 선분 의 중점, 평행선 그리기, 수직선 그리기 등 작도가 되는 기본적인 기능을 한 번에 수행할 수 있다. 또한, 평행이동, 대칭이동, 회전이동의 변환도 가능하다.

한편, 도형의 여러 요소의 색상처리, 변환, 측정, 계산, 도형의 방정식 등의 표현 이 쉽게 구현되며, 모든 함수의 그래프를 그릴 수 있다.

1. 설치방법

수학사랑(http://www.mathlove.co.kr)에서 소프트웨어-GSP를 찾아 이동한 뒤 download버튼을 찾아 누르고 설치한다.

2. 기본 조작 방법

– (수업: 메뉴는 선택사항, 흔적, 애니메이션에 대해서만 설명함)

도구모음

도구모음은 GSP 화면 왼쪽에 나타나며 여기에는 여섯 개의 도구가 있다.

화살표 도구: 개체를 선택하거나 끌어 옮길 때 사용한다.

● 도형 선택방법 설명 – 새 도형을 선택할 때 이미 선택된 도형은 선택취소가 안됨

● 선택된 도형이 메뉴에 영향을 줌 – 두 선분과 두 점을 모두 선택하면 수선, 평행선 메뉴가 활성화되지 않음)

● 두 도형이 겹칠 때 선택한 도형을 다시 클릭하면 겹쳐있는 다른 도형을 선택할 수 있음

선 도구: 선 개체, 즉 선분, 반직선, 직선을 작도한다.

글 도구: 글상자 또는 이름표를 만들거나 편집할 때 사용한다.

사용자 도구 메뉴: 사용자 도구를 만들고 사용하고 관리하는 데 사용한다.

메뉴

편집 메뉴와 보기 메뉴에는 이미 있는 개체의 모양이나 문자열의 형식, 개체 정의 등을 바꾸는 명령이 있다.

작도 메뉴, 변환 메뉴, 측정 메뉴, 그래프 메뉴에 있는 것은 스케치에 새로운 개체를 추가하는 명령이다.

단축 메뉴는 마우스의 오른쪽 버튼을 클릭할 때 나타나는데, 현재 마우스 포인터 위치에 무엇이 있느냐에 따라 그 때 사용할 수 있는 명령들을 보여 준다.

편집 메뉴

편집 메뉴에는 작업의 취소나 재실행, 클립보드 조작, 동작버튼 만들기, 개체 선택하기, 특정 개체의 속성 설정, GSP 자체의 옵션 설정 등의 작업을 할 수 있는 명령들이 있다.

숨기기/보이기: 선택된 개체들을 숨기거나 보이게 하는 버튼입니다. 버튼이 작동하는 방식은 속성 대화상자의 숨기기/보이기 탭에서 설정할 수 있다.

애니메이션: 선택된 개체들에 애니메이션을 주는 버튼입니다. 애니메이션 버튼에 대한 자세한 설정은 속성 대화상자의 애니메이션 탭에서 할 수 있다.

분리/병합: 이 명령의 작용은 무엇이 선택되어 있느냐에 따라 달라진다.

두 점(그중 하나는 독립된 점이어야 함): 두 점을 하나로 병합. (점 병합)

하나의 독립된 점과 하나의 경로 개체: 점을 경로 위의 점으로 만듬.

보기 메뉴

선 굵기: 선, 원, 호,  점의 자취를 가늘게, 굵게, 또는 점선으로 설정할 수 있다.

문자열: 선택된 개체의 이름표 또는 선택된 문자열에 대해 글꼴을 설정하거나, 크기를 크게 또는 작게 할 때 사용한다.

숨기기: 선택된 개체를 숨깁니다. 개체를 숨기면 보이지 않을 뿐 다른 개체들과의 관계는 계속 유지된다.

숨겨진 개체 모두 보이기: 현재 페이지에 숨겨져 있는 개체들을 모두 보이게 한다.

흔적 남기기와 지우기: 선택된 개체가 움직일 때 흔적이 남거나 남지 않게 설정한다. 또 그려져 있는 흔적을 화면에서 모두 지운다.

애니메이션 주기: 선택된 개체들이 스스로 움직이도록 합니다. 독립된 점은 평면 위를 자유롭게 움직이고, 경로 위의 점은 그 경로 위를 움직이며, 매개변수는 그 값을 바꾼다.

작도 메뉴

도형 위의 점: 경로 개체 위의 한 점을 작도.

중점: 선분의 중점을 작도.

교점: 두 도형의 교점을 작도.

선분, 반직선, 직선:

평행선: 한 점을 지나고 한 직선(또는 반직선, 선분)에 평행한 직선을 작도.

수선: 한 점을 지나고 한 직선(또는 반직선, 선분)에 수직인 직선을 작도.

각의 이등분선: 세 점으로 결정되는 각의 이등분선을 작도.

중심과 원주 위의 점이 주어진 원:

중심과 반지름의 길이가 주어진 원:

원주 위의 호: 주어진 원 위의, 주어진 두 점을 끝점으로 하는 호를 작도.

세 점을 지나는 호: 주어진 세 점을 지나는 호를 작도.

내부: 주어진 도형들로 결정되는 내부를 만듬.

변환 메뉴

대칭축 지정: 선택된 선(선분, 반직선, 직선)를 선대칭 이동의 대칭축으로 지정.

각 지정: 선택된 각을 앞으로 있을 회전이동 회전각, 또는 평행이동의 방향각으로 지정.

비율 지정: 선택된 비율을 앞으로 있을 닮음변환의 비율로 지정.

벡터 지정: 선택된 두 점으로 결정되는 벡터를,  평행이동의 벡터로 지정.

평행이동: 선택된 도형을, 어떤 벡터만큼 평행이동시켜 새로운 도형을 만듬.

회전이동: 선택된 도형을, 한 점을 중심으로 어떤 회전각만큼 회전이동시켜 새로운 도형을 만듬. 중심이 지정되어 있지 않으면 자동적으로 한 점이 중심으로 지정.

닮음변환: 선택된 도형을, 한 점을 닮음의 중심으로 어떤 비율만큼 확대 또는 축소시켜 새로운 도형을 만듬. 중심이 지정되어 있지 않으면 자동으로 한 점이 중심으로 지정.

선대칭이동: 선택된 도형을, 지정된 대칭축에 대해 선대칭이동시켜 새로운 도형을 만듬.

반복: 몇 개의 점 또는 매개변수에서 그것에 의존하는 같은 수의 점들로 가는 대응을 반복 적용하여 생기는 개체들을 한꺼번에 만듬. 반복을 사용하면 테셀레이션이나 프랙탈 같은 복잡한 그림도 그릴 수 있다.

측정 메뉴

선택된 개체에 대한 어떤 측정을 하여 값을 가진 개체(측정값)를 만든다. 메뉴의 위 부분에는 기하학적인 양(길이, 각, 비율, 넓이 등)을 측정하는 명령들이 있고, 메뉴의 아래 부분에는 해석적인 양(좌표, 방정식, 기울기, 좌표상의 거리 등)을 측정하는 명령들이 있다.  측정의 대상이었던 개체가 움직이면, 측정값이 바뀐다.

3. GSP기능 둘러보기

gsp 자료 활용

활동1) 정수의 덧셈

* C:\Program Files (x86)\Sketchpad\Samples\GSP 수업 활동 25\정수 덧셈.gsp 파일을 열자.

1.  수직선 그림에서 7+5=12와  (-7)+(-4)를 알아보자.

2.  다음  두 정수의 덧셈을 식으로 나타내고, 끌기 점으로 여러 가지 덧셈을 해보자.

활동2) 다른 gsp 파일들을 열어보고, 기능과 응용 가능성에 대하여 생각해 보자. (수업: 소개하지 않음)

예) 거리, 기하평균, 넓이, 변형 피타고라스, 삽살이, 접선, 접은 원, 중점사각형

●  흔적 남기기

GSP에서 먼저 점을 그리고, 흔적남기기를 이용하여 점을 움직여서 선을 그려보자

GSP에서 먼저 선분을 그리고, 흔적남기기를 이용하여 선분을 움직여서 면을 그려보자.

●  그림 그리기

각

새 문서를 연다.

삼각형 ABC를 그린다.

선 도구에서 반직선을 선택하고 점A와 점B를 차례대로 클릭하여 반직선 AB를 그린다.

삼각형 ABC의 세 내각의 크기를 각각 측정한다.

측정 메뉴에서 계산을 선택하여 세 내각의 합을 계산한다.

반직선 AB위(삼각형의 변이 아닌 부분)에 한 점 D를 찍고 삼각형의 한 외각 CBD의 크기를 측정한다.

측정 메뉴를 사용하여 그 외각의 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합을 측정한다.

만화경 그리기

1. 여러 개의 변을 가진 다각형을 한 개 그린다.

다각형은 가늘고 길게 만든다.

2. 만들어진 다각형 안에 여러개의 다각형의 내부를 만들고, 다른 색으로 칠한다.

3. 다각형의 꼭지점을 중심으로 지정한다. 점을 숨기고 다각형을 60[eqn: DEG]만큼 회전이동한다.

4. 만화경이 완성될 때까지 새로 만들어지는 다각형들을 계속 회전한다.

5. 만화경의 중심을 중심으로 하는 원들을 작도한다.

6. 세 개의 원 위로 만화경의 점을 병합한다.

7. 병합된 세 원에 애니메이션을 실행한다.

평행이동을 이용한 테셀레이션

새 문서의 왼쪽 아래부분에 선분 AB를 그리고, 선분 AB의 위쪽에 점 C를 찍는다.

점 A에서 점 B로 벡터를 지정하고 이 벡터에 의하여 점 C를 평행이동한다.

점들을 선분으로 연결하여 평행사변형을 완성한다.

그림과 같이 2개 또는 3개의 선분으로 점 A에서 점 C까지를 이어보자. 이제부터 이것을 불규칙 변 AC라고 하자.

불규칙 변 AC위의 모든 선분과 점을 선택하고 지정된 벡터에 의하여 평행이동한다.

점 A에서 B까지 불규칙 변을 만들어라.

점 A에서 C까지 벡터를 지정하고, 불규칙 변 AB를 지정된 벡터에 의하여 평행이동한다.

불규칙 도형의 다각형의 내부를 만든다. 이것이 평행이동할 타일이다.

지정된 벡터에 의하여 다각형의 내부를 평행이동해 보자.

이 과정을 반복하여 한 줄을 모두 타일로 채운다. 각각의 타일들의 색깔과 음영을 달리하여 새로운 모양을 만든다.

점 A에서 점 B로 벡터를 지정한다. 한 줄로 늘어선 모든 타일을 선택하고 지정된 벡터에 의하여 평행이동한다.

면을 채울 때까지 평행이동을 계속한다.

처음 타일의 꼭지점을 끌어 흥미로운 모양이나 보기 좋은 모양을 만들어 보자.

●길이를 이용하여 직선과 포물선의 그래프 그리기 – 측정값을 계수로 이용

●함수의 그래프를 그리고 접선그리기(?)

● 교과서에 나오는 그래프 그려보기(?)

2. GSP와 기본 작도

1. 작도

작도나라의 작도문제 -

● 선분의 수직 이등분선 작도

➀ 선 도구를 클릭하고, 선분 AB를 그린다.

➁ 원 도구를 클릭하고, 점 A를 중심으로 하고, 점 B를 지나는 원을 그린다.

➂ 계속하여 점 B를 중심으로 하고 점 A를 지나는 원을 그린다.

➃ 두 원을 선택하고, 작도-교점 메뉴를 사용하여 두 교점을 작도한다.

➄ 두 교점을 잇는 선분을 그린다.

연습1) 선분의 중점을 그리고 각도를 측정하여 수직임을 확인한다.

연습2) 점 A와 점 B에서 중점까지의 거리를 측정하고, 중점임을 확인한다.

연습3) 탈레스 정리를 사용한 수선의 작도 – 작도나라 참고

●각의 이등분선 작도

●  삼각형 그리기

도구 모음을 사용하여 다음 도형들을 그려보자.

삼각형,         이등변삼각형,          정삼각형

연습) [eqn: 15 DEG]를 작도하여보자.

●  선분의 이동

한 선분을 그리고 같은 크기를 갖고 한 점을 지나는 선분을 작도하여보자.

복사, 붙여넣기를 사용하지 않고, 작도 멘뉴를 사용하자.

●  각의 이동

●두 변의 길이와 끼인 각이 주어진 삼각형의 작도

➀ 두 선분 AB와 CD를 그린다

➁ 또 선분 EF와 FG를 그린다

이제 두 변의 길이가 각각 AB와 CD와 같고 끼인각이 [eqn: ANGLE rm EFG]와 같은 삼각형을 작도하여 보자.

➂ 점 H를 그리고 점 H와 선분 AB를 선택하고 메뉴의 “작도-중심과 반지름이 주어진 원”을 선택하여 원을 그린다.

➃ 원위의 한 점 I를 작도하고, 선분 HI를 그린다.

➄ 점 F를 중심으로 하고 선분 EF와 FG와의 교점이 나타나도록 원을 작도한다.

➅ 원과 선분 EF와 FG와의 교점을 작도한다.

➆ 선분 FM을 작도 선택하고, 점 H를 선택한 후 “작도-중심과 반지름이 주어진 원”을 그린다.

➇ 선분 MN을 작도 선택하고 점 J를 선택한 후 “작도-중심과 반지름이 주어진 원”을 그린다.

➈ 반직선 HK를 그린다.

➉ 점 H와 선분 CD를 선택하고 “작도-중심과 반지름이 주어진 원”를 한 후 ➈의 직선과 교점 L을 작도한다.

⑪ 선분 IL을 그리고 숨기기 기능을 이용하여 다음과 같이 삼각형만 남긴다.

연습) 한 선분의 길이와 두 각이 주어진 삼각형을 작도해 보자.

2. GSP와 작도문제

●  삼각형의 외심 작도 – 변의 수직이등분선이 만나는 점

●  삼각형의 내심 작도 – 각의 이등분선이 만나는 점

●  삼각형의 무게중심 – 꼭지점과 변의 중점을 이은 선분이 만나는 점

연습) 방심과 수심을 그려보자.

●  정사각형, 정육각형 작도

●  2의 작도

한 선분을 그리고, 그 선분과 2배 길이를 갖는 선분을 작도하여보자.

연습) 3, 4, 5도 작도하여보자.

●  [eqn: {1} over {3}]의 작도

닮음을 사용하여 [eqn: {1} over {3}]을 작도하여보자.

연습) [eqn: {3} over {5}], [eqn: {3} over {4}]를 작도하여 보자.

●  [eqn: sqrt {2}]의 작도

정사각형을 이용하여 [eqn: sqrt {2}]를 작도하여보자.

연습) 복사지 비율의 직사각형도 작도하자.

연습) [eqn: sqrt {3}], [eqn: sqrt {5}]를 작도해 보자.

●  [eqn: {1+ sqrt {5}} over {2}]를 작도해 보자. 정오각형의 대각선은 한 변의 길이의 [eqn: {1+ sqrt {5}} over {2}]배이므로 정오각형도 작도할 수 있다.

연습) 황금직사각형을 작도해 보자.

●  [eqn: 54 DEG], [eqn: 18 DEG]를 작도해 보자.

3. GSP와 재미있는 작도문제

오일러 선분

새 문서를 연다.

사용자 도구에서 내심 도구를 사용하여 내심을 작도한다.

같은 삼각형 위에 외심 도구를 사용하여 외심을 그린다.

같은 삼각형에 수심도구를 사용하여 수심을 그린다.

같은 삼각형에 무게중심을 그린다.

일직선 위에 놓이는 세 점을 포함하는 선분을 하나 그린다. 이것을 오일러 선분이라고 한다.

오일러 선분위에 있는 한 점에 의하여 오일러 선분은 두 부분으로 나뉜다. 이 두 부분의 길이를 측정하자.

나폴레옹 정리

프랑스의 황제 나폴레옹은 스스로를 아마추어 기하학자라고 생각하였고, 수학자들과 어울리는 것을 좋아하였다.

정삼각형을 작도한다.

삼각형의 무게중심을 작도한다.

정삼각형과 무게중심을 제외한 나머지를 숨긴다.

이 그림에 대한 사용자 도구를 만든다.

새 문서를 열고 삼각형 ABC를 작도한다.

삼각형 ABC의 각 변을 한 변으로 하는 정삼각형을 사용자도구를 사용하여 작도한다.

삼각형 ABC의 각 변에 정삼각형이 바르게 그려졌는제 확인하기 위하여 꼭지점들을 끌어보자.

세 개의 정삼각형의 무게중심을 선분으로 연결한다.

삼각형 ABC의 꼭지점을 끌면서 정삼각형의 무게중심을 이어 만든 삼각형의 머양을 관찰해 보자. 이 삼각형을 나폴레옹 삼각형이라고 한다.

● 포물선의 작도

● 타원과 쌍곡선의 작도

● 황금 나선의 작도

퀴즈1)  [eqn: {1} over {3}]을 작도하는 과정을 설명하라.

퀴즈2) [eqn: 18 DEG]를 작도하는 과정을 설명하라.

퀴즈3) 황금비의 작도 과정을 설명하라.

퀴즈4) 오일러 선분에 대하여 설명하라.

4. GSP와 프랙탈

6. 복잡한 도형 만들기

● GSP의 반복 기능을 활용하여 프랙탈 도형 그리기

GSP의 간단한 기능 중 하나로 아래 그림과 같이 하나의 도형을 만들고 난 후 꼭짓점을 마우스로 끌면서 얼마든지 다른 모양으로 변형할 수 있으며 색깔 또한 쉽게 바꿀 수 있으므로 매우 달라 보이는 도형을 쉽게 만들 수 있다. 다음은 GSP로 만든 시에르핀스키 삼각형(Sierpinski Triangle, Sierpinski Gasket) 및 나선과 이것을 색 또는 형태를 변형시켜 만든 도형이다.

연습) 코흐곡선, 프랙탈 나무, 피타고라스 나무를 그려보자.

● 애니메이션을 이용하여 sin곡선 그리기

➀ 직선 AB를 그린다.

➁ 중심이 A인 원을 그린다.

➂ 원 위의 점 D와 직선위의 점 E를 그린다.

➃ 점 E를 지나고 직선 AB에 수직인 직선을 작도한다.

➄ 점 D를 지나고 직선 AB에 평행인 직선을 작도한다.

➅ 두 직선의 교점 F를 작도하고 점 F의 흔적을 남긴다.

➆ 점 D와 점 E를 선택하고 애니메이션 제어판을 열어 play 버튼을 누른다.

●현수선 그리기

➀ 직선 AB를 그리고 직선 위의 점 C를 작도한다.

➁ 점 C를 지나고 직선 AB에 수직인 직선을 작도하고 수선 위의 점 D를 작도한다.

➂ 점 C를 중심으로 하고 점 D를 지나는 원을 그리고 원 위의 점 E를 작도한다.

➃ 점 E의 흔적을 남긴다.

➄ 점 C와 점 E를 선택하고 애니메이션을 한다.

●곡선 맞추기

* 퀴즈는 중간고사 직전에 실시

퀴즈1) 코흐곡선을 만드는 과정을 설명하라.

퀴즈2) 프랙탈 나무를 만드는 과정을 설명하라.

과제1) 변형된 프랙탈 도형을 하나 그려라.

과제2) 원 밖의 한 점을 지나고, 이 원에 접하는 접선을 작도하라.

과제3) 착시 도형 그리기 – 작도나라 참고

과제4) 이차곡선(포물선,쌍곡선)이 나타나는 그림을 찾고, 그림 위에 이차곡선을 그려보아라.

5. GSP와 복잡한 작도문제

● 제곱의 작도

●두 원의 공통접선 작도

http://www.cut-the-knot.org/geometry.shtml에서 다음의 page를 보고 작도방법을 생각해 보자.

249 Common Tangents to Two Circles I

250 Common Tangents to Two Circles II

●메넬라우스의 정리 (Menelaus’ Theorem) - 위키

주어진 삼각형 ABC에서 꼭짓점이 아닌 점 P, Q, R이 각각 직선 [eqn: bar{rm BC}], [eqn: bar{rm CA}], [eqn: bar{rm AB}]위에 있다고 하자. 이때, P, Q, R이 한 직선 위에 있으면

[eqn: {bar{rm AR it}} over {bar{rm RB it}} CDOT {bar{rm BP it}} over {rm PC it} CDOT {bar{rm CQ}} over {rm QA it} =1]

이다. 역으로 위의 식이 성립하면 P, Q, R은 한 직선위에 있다.

연습) 체바의 정리(Ceva’s Theorem)를 써라. - 위키

삼각형 ABC가 있고, 점 D, E, F가 각각 변 BC, CA, AB 또는 그 연장선위에 있을 때, 직선 AD, BE, CF가 한 점에서 만나면 다음이 성립한다.

[eqn: {bar{rm AF it}} over {bar{rm FB it}} CDOT {bar{rm BD it}} over {rm DC it} CDOT {bar{rm CE it}} over {rm EA it} =1]