제6장 Geogebra와 곡선

1. Geogebra의 기능

지오지브라는 기하, 대수, 표, 그래프, 통계, 미적분, 이산수학 등을 편리하게 다룰 수 있는 수학 소프트웨어이다. 미국과 유럽에서 교육 소프트웨어 상을 여러 번 수상하였으며 다음과 같은 특징을 가지고 있다.

⦁ 그래프, 대수, 표를 연결시킬 수 있으며, 움직이는 수학 교육 도구를 만들 수 있다.

⦁ 사용하기 편리하고 다양하고 강력한 기능을 갖추고 있다.

⦁ 상호작용이 가능한 학습자료를 웹페이지로 만들어 준다.

⦁ 다양한 언어를 지원한다.

⦁ 무료로 사용할 수 있고, 소스도 공개되어 있다.

1. 설치방법

http://www.geogebra.org 에서 “무료소프트웨어”를 클릭하고, 다음 화면에서 OS를 선택하면 설치파일을 받을 수 있다. 이것을 실행하여 설치한다.

이 사이트에는 지오지브라를 소개하는 많은 자료들이 있으며, 지오지브라로 만든 많은 교육 자료들도 볼 수 있다.

지오지브라 홈페이지에서 도움말을 클릭하면, 지오지브라를 설명하는 다양한 자료들을 볼 수 있다. 튜토리얼은 초보자가 시작하기 좋은 자료이며 수업자료로 사용할 것이다. http://www.geogebra.org/book/intro-en.zip 에서도 받을 수 있다.

2. 사용자 인터페이스

지오지브라는 아래와 같이 구성되어 있다.

또한, 보기 메뉴를 눌러 “스프레드시트 창”, “CAS”, “기하창2”, “구성단계”의 창을 열 수 있다.

파일 메뉴의 “새로 만들기”, “새 윈도우”, “저장하기”, “열기”도 자주 사용하는 메뉴이며, “내보내기”를 사용하여 다양한 형태의 파일로 저장할 수도 있다.

3. 기본 사용법

⦁ 도구바의 버튼을 눌러 도구를 사용할수 있다.

⦁ 도구버튼의 아래쪽을 누르면 다른 도구를 선택할 수 있다.

⦁ 도구버튼을 선택하고 도구바의 을 누르면 도움말을 볼 수 있다.

4. 지오지브라로 그림그리기

⦁ 기하창의 오른쪽 가장자리에 있는 삼각형을 클릭하고, 초등기하를 선택하자.

⦁ 기하창에서 오른쪽 버튼을 눌러 격자를 눌러보자.

다음의 도구들을 사용하여 그림을 그려보자.

⦁  새로운 점

⦁  이동

⦁  두 점을 지나는 직선

⦁  두 점 사이의 선분

⦁  대상 삭제

⦁  되돌리기/다시실행

⦁  기하창 이동

⦁  크게보기/작게보기

연습)

⦁ 도형을 선택하라. 여러 도형을 선택하는 방법은?

⦁ 도형위에 점을 그려라. 색을 비교해 보자.

5. 직사각형 그리기

⦁ 직사각형의 성질은 무엇인가?

⦁ 지오지브라를 열고 초등기하로 바꾸자.

⦁ 다음의 도구들을 시험해 보자.

⦿  수직선

⦿  평행선

⦿  두 대상의 교점

⦿  다각형

⦁ 작도 단계

➀  선분 AB를 그린다.

➁  선분 AB에 수직이고 점 B를 지나는 직선을 작도한다.

➂  수직선 위에 점 C를 작도한다.

➃  점 C를 지나고 선분 AB에 평행한 직선을 작도한다.

➄  점 A를 지나고 선분 AB에 수직인 직선을 작도한다.

➅  교점 D를 작도한다.

➆  다각형 ABCD를 작도한다.

➇    작도한 것을 저장한다.

➈  드래그를 해보고 잘못된 부분을 수정한다.

6. 내비게이션바 사용하기

∙ 기하창에서 오른쪽 마우스버튼을 누르고 “구성단계 내비게이션바”를 선택한다.

∙ 내비게이션 바에서 구성단계를 선택하고, 작도 순서를 바꿔보자. 바뀌는 것이 있는가?

∙ 를 누르고 중단점을 선택한다.

∙ 중단점들을 체크하고, 의 “중단점만 보이기”를 선택한다.

∙ 작도를 단계별로 실행해 보자.

7. 정삼각형 작도하기

∙ 기하를 선택한다.

∙ 메뉴-선택사항-레이블 보이기를 선택하고 새로운 점만 레이블 보임을 선택하자.

⦁ 다음의 도구들을 시험해 보자.

⦿  중심이 있고, 한 점을 지나는 원

⦿  대상 보이기/감추기

⦿  각

∙ 작도 단계

➀  선분 AB를 그린다.

➁  중심이 점 A이고 점 B를 지나는 원을 작도한다.

➂  중심이 점 B이고 점 A를 지나는 원을 작도한다.

➃  두 원의 교점 C를 작도한다.

➄  다각형 ABC를 시계반대방향으로 작도한다.

➅  두 원을 숨긴다.

➆  삼각형을 내각을 표시한다.

➇    작도한 것을 저장한다.

➈  드래그를 해보고 잘못된 부분을 수정한다.

8. 지오지브라의 객체의 속성

∙ 기하창의 왼쪽 위에는 작은 삼각형이 있는 데, 이것을 누르면 스타일바를 보이거나 숨길 수 있다. 선택된 도구에 따라 스타일 바는 다른 버튼들이 나타나는 데, 객체의 색, 크기, 스타일을 바꿀 수 있다.

∙ 더 많은 속성을 보려면 객체에서 오른쪽 버튼을 누르고, 설정사항을 선택하면 된다.

연습) 속성의 값을 바꿔보자. 좌표, 색, 스타일, 크기 등

활동) 이등변 삼각형의 작도

⦁ 다음의 도구들을 시험해 보고 이등변 삼각형을 작도해 보아라.

⦿  두 점 사이의 선분

⦿  중점 또는 중심

⦿  수직선

⦿  새로운 점

⦿  다각형

⦿  이동

과제) 활동 자료 만들고, 발표하기 – 조별로 (모든 조원이 발표) - 퀴즈 문제 출제하고 풀어보기 – 과제 문제 출제

마지막 section은 과제

2. Geogebra와 TeX

활동 1. 입력바에 f(x)=x^3/3-2x^2+x+5를 입력하고 엔터를 눌러보자.

활동 2. 메뉴의 파일-내보내기-기하창을 PGF-TikZ로 저장... 을 선택하고, PGF/TikZ코드 생성 버튼을 누르고 이어서 클립보드로 복사 버튼을 누르자.

계속해서, TeXWorks를 열고 붙여넣기 하고 를 누르자.

위와 같은 에러가 발생하면, 함수식을 다음과 같이 수정하자.

plot(\x,{\x^3/3-\x*\x+2*\x/3+2/3})

활동 3. Geogebra에서 를 누르고, 기하창에 마우스를 클릭하자. 편집에 함수를 다음과 같이 입력하자.

확인 버튼을 누르고 함수식의 위치를 잘 조절하자. 다시, 메뉴의 “파일-내보내기-기하창을 PGF-TikZ로 저장...”를 선택하여, 복사하고, TeXWorks에 붙여넣기하자.

활동 4. 기하창에서 마우스의 오른쪽 버튼을 눌러 “기하창...”을 선택하자. x축과 y축 탭에서 “숫자보이기”의 체크를 지우고, 창을 닫아보자.

연습) 그래프에 x절편의 값을 표시해보자.

연습) 그래프에 y절편의 값을 표시해보자.

연습) 결과를 LaTeX으로 옮겨보자.

활동 4. 그래프의 색을 빨간색으로 바꿔보자. 대수창의 함수에서 마우스 오른쪽 버튼을 누르고, 설정사항...을 선택하자. 색상 탭에서 빨간색을 선택하고 창을 닫는다. LaTeX으로 변환하여 옮겨보자.

활동 5. 그림에서 수식의 위치를 바꿔보자.

활동 6. Geogebra의 그래프를 한글에 붙여 넣어보자. “기하창을 클립보드에 복사”를 누르고, 한글에 붙이자.

연습) x축과 y축의 이름도 넣어보자.

연습) LaTeX에서 그래프의 제목을 넣어보자.

3. Geogebra와 극방정식

직교방정식에서 구현하기 힘든 삼각함수로 주어지는 여러 가지 극방정식의 그래프를 Geogebra에서 그려 보고 극방정식의 계수를 변화시키면서 여러 종류의 극장미(Polar Rose)의 모양을 만들어 보고 표로 정리해 본다.

또한 고정된 평면 위, 또는 원의 내부, 외부에서 미끄러지지 않고 회전하는 원의 둘레 또는 원 내부의 고정된 한점이 그리는 여러 곡선들의  개방정식들(사이클로이드, 에피사이클로이드,에피트로코이드, 하이포사이클로이드, 하이포트로코이드)을 직접 유도해 보고, Geogebra의 슬라이드 도구를 이용해 회전하는 원의 회전각을 변화시키면서 매개방정식의 그래프가 그려지는 과정을 애니메이션으로 구현해 본다.

Ⅱ. 본론

1. 직교좌표계와 극좌표계

직교좌표계(RCS : Rectangular Coordinate System)는 n개의 직교하는 축 위의 n개의 점을 이용해서 다른 좌표계와는 달리 n차원을 쉽게 일반화할 수 있는 좌표계이다. 이를 발명한 프랑스의 수학자 데카르트의 이름을 따서 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)라고도 부른다. 2차원 직교좌표계는 평면좌표계로써 xy평면을 이루는 서로 직교하는 x축 (수평방향)과 y축(수직방향)으로 정의한다. 3차원 직교좌표계는 공간좌표계로써 xy, xz 그리고 yz평면으로 이루어지는데 이 세 평면은 서로 직교하며, 각 평면을 만드는 x축, y축 그리고 z축 또한 서로 직교한다. 이러한 축들이 만나는 점을 원점(Origin)이라 한다.

극좌표계(PCS : Polar Coordinate System)는 평면 위의 위치를 각도와 거리를 써서 나타내는 2차원 좌표계이다. 극좌표계는 두 점 사이의 관계가 각이나 거리로 쉽게 표현되는 경우에 가장 유용하다. 직교 좌표계에서는 삼각 함수로 복잡하게 나타나는 관계가 극좌표계에서는 간단하게 표현되는 경우가 많다. 직교좌표계에서의 원점은 극(Pole)이라고 하고 x축은 시초선(Initial Line)이라고 한다. 2차원 좌표계이기 때문에 극좌표는 반지름(Radius) 성분과 각(Angle) 성분의 두 개의 성분으로 결정된다. 주로 r로 나타내는 반지름 성분은 극에서의 거리를 나타내고 θ로 나타내는 각 성분은 시초선에서 반시계 방향(직교 좌표계에서 x축의 양의 방향에 해당)으로 측정한 각의 크기를 나타낸다.

2차원 직교좌표계의 x성분과 y성분은 극좌표계의 r성분과 θ성분으로 표시할 수 있다.

[eqn: {cases{x=r`cos` theta &#y=r`sin theta &}}#]

<그림1. 직교좌표계와 극좌표계>

2. 극방정식의 그래프

(1) 극방정식 [eqn: r=sin theta]

① 먼저 기하창에서 오른쪽 마우스버튼을 눌러 “기하창...”을 선택하자. 격자 탭에서 격자유형을 극좌표로 설정하고, 격자보이기를 체크하고 적용을 누른다.

② 입력창에 f(x)=sin(x)를 입력한다.

③ 함수의 그래프에 오른쪽마우스버튼을 누르고 대상보이기를 선택하여 함수의 그래프를 숨긴다.

④ 입력창에 curve[f(t) cos(t), f(t) sin(t), t, 0, pi]를 입력한다.

참고) 직교좌표계에서 [eqn: y=sinx`(0<x< pi )]를 그려보자.

① 입력창에 f(x)=if[0<=x && x<=pi,sin(x)]를 입력한다.

(2) 극방정식 [eqn: r=cos theta]

(3) 극방정식 [eqn: r=tan theta]

(4) 극좌표계에서의 장미 곡선

극장미(Polar Rose) 곡선은 극좌표계에서 여러 가지 형태의 꽃잎을 지닌 장미꽃처럼 보이는 곡선으로 극방정식 [eqn: r=a`cos LEFT ( {k theta } over {d} RIGHT )] 또는 [eqn: r=a`sin LEFT ( {k theta } over {d} RIGHT )]의 형태로 표현된다. 다음을 차례대로 입력하여 극장미 곡선을 그려보자.

① k=slider[1,7,1]

② d=slider[1,7,1]

③ e=slider[1,14,1]

④ f(x)=cos(k x / d)

⑤ curve[f(t) cos(t), f(t) sin(t), t, 0, e pi]

⑥ k, d, e의 값을 조절하여 곡선을 완성한다.

k가 홀수일 때는 k개의 꽃잎을 지니며, k가 짝수일 때는 2k개의 꽃잎을 지닌다. k가 정수가 아닐 때에는 꽃과 비슷한 모양이지만 꽃잎이 겹쳐 보이게 된다. 따라서 4k + 2개의 꽃잎을 지닌 장미 곡선은 그릴 수가 없다.

장미곡선의 극방정식에서 계수 a는 꽃잎의 길이를 나타낸다.

<표1. 극장미곡선 [eqn: r=sin LEFT ( {k theta } over {d} RIGHT )]에서 k값에 따른 여러 가지 모양>

2. Geogebra와 현수선

(1) 사이클로이드 (Cycloid)

사이클로이드는 평면상의 한 직선을 따라 원이 미끄러지지 않고 회전할 때 원 둘레 위의 고정된 한 점이 그리는 곡선으로 다음과 같은 매개방정식으로 표현된다. 먼저 Geogebra로 사이클로이드를 그려보자.

① 기하창에서 오른쪽 버튼을 눌러 “기하창...”을 선택한다. 오른쪽 그림과 같이, x축 탭을 누르고, 눈금간격을 체크한 후 pi/2를 입력한다.

② 도구바에서 를 누르고 기하창을 클릭한다. 이름은 t, 최솟값은 0, 최댓값은 4pi를 입력하고 적용을 누른다.

③ 입력창에 A=(t,0)을 입력한다.

④ 입력창에 C=(t,1)을 입력하고, 이어서 circle[C,1]을 입력한다. 또 B=Rotate[A,-t,C]를 입력한다. 이때, 선분 OA의 길이와 호 AB의 길이는 같다.

⑤ B에서 오른쪽 버튼을 누르고 “설정사항...”을 선택한 후, 자취보이기를 체크한다.

⑥ t에서  오른쪽 버튼을 누르고 “애니메이션 시작”을 선택한다.

이제 사이클로이드의 매개방정식을 유도하여 보자. 그림 6과 같이 A=(t,0), C=(t,1)이므로 B의 좌표는 [eqn: (t-sin`t,1-cos`t)]이다. 따라서 사이클로이드의 매개 방정식은

[eqn: {cases{x=t-sin`t&#y=1-cos`t&}}]

로 나타낼 수 있다.

일반적으로 원의 반지름이 a일 경우, 사이클로이드의 매개방정식은

[eqn: {cases{x=at-a`sin`t&#y=a-a`cos`t&}}]

<그림6. 사이클로이드 매개방정식의 유도>

(2) 에피트로코이드 (EpiTrochoid)

에피트로코이드는 고정된 원의 둘레를 이에 외접하는 다른 원이 미끄러지지 않고 회전할 때 회전하는 원에 고정된 한 점이 그리는 곡선으로 다음과 같은 매개방정식으로 표현된다.

[eqn: rm C it =(R+r)(cos theta ,sin theta )]

[eqn: rm D-C` it =`(-r`cos( theta + alpha ),-r`sin( theta + alpha ))]

[eqn: l=L]이므로 [eqn: alpha = {R` theta } over {r}]

이므로 점 E의 x좌표와 y좌표는 다음과 같다.

[eqn: x=(R+r)cos` theta `-`d`cos LEFT ( theta + {R` theta } over {r} RIGHT )]

[eqn: y=(R+r)sin theta `-`d`sin LEFT ( theta + {R` theta } over {r} RIGHT )]

<그림8. 에피트로코이드 매개방정식의 유도>

① R=1

② r=slider[0,1]

③ d=slider[0,2]

④ e=slider[1,10[eqn: pi]]

⑤ circle[(0,0),R]

⑥ curve[(R+r)cos(t)-d cos(t+R t/r),(R+r)sin(t)-d sin(t+R t/r),t,0,e pi]

에피트로코이드 매개방정식에서 d의 값이 r과 같으면 에피사이클로이드의 곡선이 된다. 고정된 원의 반지름R과 회전하는 원의 반지름 r, 회전하는 원의 고정된 한 점까지의 거리 d에 따라 여러 가지 모양의 곡선이 만들어 진다.

(3) 에피사이클로이드 (Epicycloid)

에피사이클로이드는 고정된 원의 둘레를 이에 외접하는 다른 원이 미끄러지지 않고 회전할 때 회전하는 원둘레 위의 고정된 점이 그리는 곡선으로 다음과 같은 매개방정식으로 표현된다.

[eqn: x=(R+r)cos` theta `-`r`cos LEFT ( theta + {R` theta } over {r} RIGHT )]

[eqn: y=(R+r)sin theta `-`r`sin LEFT ( theta + {R` theta } over {r} RIGHT )]

[eqn: k= {R} over {r}]이라 하면, 위의 매개방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

[eqn: x=r(k+1)cos` theta `-`r`cos LEFT ( (k+1)theta RIGHT )]

[eqn: y=r(k+1)sin theta `-`r`sin LEFT ( (k+1)theta RIGHT )]

고정된 원의 반지름 R과 구르는 원의 반지름 r에 따라 여러 가지 모양의 곡선이 만들어진다.

<표2. k값에 따른 에피사이클로이드 곡선의 여러 가지 모양>

<표2.>에서 k값이 1이 되면 카디오이드 곡선이 된다. 카디오이드(Cardioid : 심장모양 그래프)는 고정된 원의둘레를 이에 외접하는 동일한 크기의 다른 원이 미끄러지지 않고 회전할 때, 회전하는 둘레 위의 고정된 한 점이 그리는 곡선으로 다음과 같은 매개방정식으로 표현된다.

[eqn: x=2R`cos` theta `-`R`cos LEFT ( 2theta RIGHT )]

[eqn: y=2R`sin theta `-`R`sin LEFT ( 2theta RIGHT )]

둘레를 이에 외접하는 1/2배 크기의 다른 원이 미끄러지지 않고 회전할 때, 회전하는 둘레 위의 고정된 한 점이 그리는 곡선으로 다음과 같은 매개방정식으로 표현된다.

[eqn: x=(R+ {R} over {2} )cos` theta `-` {R} over {2} `cos LEFT ( theta + {R` theta } over {{R} over {2}} RIGHT ) = {3R} over {2} `cos` theta `-` {R} over {2} `cos(3 theta )]

[eqn: y=(R+ {R} over {2} )sin theta `-` {R} over {2} `sin LEFT ( theta + {R` theta } over {{R} over {2}} RIGHT ) = {3R} over {2} `sin` theta `-` {R} over {2} `sin(3 theta )]

(4) 하이포트로코이드 (HypoTrochoid)

하이포트로코이드는 고정된 원의 둘레를 이에 내접하는 다른 원이 미끄러지지 않고 회전할 때 회전하는 원에 고정된 한 점이 그리는 곡선으로 다음과 같은 매개방정식으로 표현된다.

오른쪽 그림과 같이 [eqn: R]은 큰 원의 반지름 [eqn: r]은 작은 원의 반지름이라 하자.

[eqn: rm C=` it ((R-r)`cos` theta ,`(R-r)`sin` theta )]

[eqn: vec{rm CD} `=` it (r`cos( theta - alpha ),`r`sin( theta - alpha ))]

[eqn: R`theta =L=l=`r alpha]

이므로 [eqn: alpha = {R` theta } over {r}].

따라서

[eqn: rm E=C+ {d} over {r} vec{CD}][eqn: ``= it ((R-r)`cos` theta `+`d`cos( theta - alpha ),`(R-r)`sin` theta `+`d`sin( theta - alpha ))]

[eqn: = LEFT ( (R-r)`cos` theta `+`d`cos LEFT ( theta - {R` theta } over {r} RIGHT ) ,`(R-r)`sin` theta `+`d`sin LEFT ( theta - {R` theta } over {r} RIGHT ) RIGHT )].

매개방정식으로는 다음과 같이 표현된다.

[eqn: {cases{x=(R-r)cos` theta `+`d`cos LEFT ( theta - {R` theta } over {r} RIGHT )&#y=(R-r)sin` theta `+`d`sin LEFT ( theta - {R` theta } over {r} RIGHT )&}}]

[eqn: k= {R} over {r}]이라하면

[eqn: {cases{x=r(k-1)cos` theta `+`d`cos LEFT ( (k-1)theta RIGHT )&#y=r(k-1)sin` theta `-`d`sin LEFT ( (k-1)theta RIGHT )&}}]

□□□□

하이포트로코이드 매개방정식에서 d의 값이 r과 같으면 하이포사이클로이드의 곡선이 된다. 고정된 원의 반지름 R과 회전하는 원의 반지름 r, 회전하는 원의 고정된 한 점까지의 거리 d에 따라 여러 가지 모양의 곡선이 만들어 진다.

① R=1

② r=slider[0,1]

③ d=slider[0,2]

④ t=slider[0,10[eqn: pi]]

⑤ circle[(0,0),R]

⑥ C=(R-r)(cos(t),sin(t))

⑦ circle[C,r]

⑧ E=((R-r) cos(t)+d cos(t-R t/r),(R-r) sin(t)+d sin(t-R t/r))

⑨ 점 E의 자취보이기, 색깔 바꾸기

⑩ t의 애니메이션 시작

(5) 하이포사이클로이드 (Hypocycloid)

하이포사이클로이드는 고정된 원의 둘레를 이에 내접하는 다른 원이 미끄러지지 않고 회전할 때 회전하는 원둘레 위의 고정된 점이 그리는 곡선으로 다음과 같은 매개방정식으로 표현된다.

고정된 원의 반지름 R과 구르는 원의 반지름 r에 따라 여러 가지 모양의 곡선이 만들어진다.

<표3. k값에 따른 하이포사이클로이드 곡선의 여러 가지 모양>

<표3.>에서 k값이 3이 되면 델토이드 곡선이 된다. 델토이드(Deltoid : 삼각별 모양 그래프)는 고정된 원의 둘레를 이에 내접하는 1/3배 크기의 다른 원이 미끄러지지 않고 회전할 때, 회전하는 둘레 위의 고정된 한 점이 그리는 곡선으로 다음과 같은 매개방정식으로 표현된다.

[eqn: {cases{x=2r`cos` theta `+`r`cos LEFT ( 2 theta RIGHT )&#y=2r`sin` theta `-`r`sin LEFT ( 2 theta RIGHT )&}}]

① r=1

② e=slider[0,360°,5°] (°는 Alt+O를 이용하여 입력)

③ curve[2r cos(t)+ r cos(2t), 2r sin(t) - r sin(2t),t,0,e]

<표3.>에서 k값이 4가 되면 아스트로이드 곡선이 된다. 아스트로이드(Astroid : 사각별 모양 그래프)는 고정된 원의 둘레를 이에 내접하는 1/4배 크기의 다른 원이 미끄러지지 않고 회전할 때, 회전하는 둘레 위의 고정된 한 점이 그리는 곡선으로 다음과 같은 매개방정식으로 표현된다.

[eqn: {cases{x=3r`cos` theta `+`r`cos LEFT ( 3 theta RIGHT )&#y=3r`sin` theta `-`r`sin LEFT ( 3 theta RIGHT )&}}]

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