Sympy-01.ipynb

Kernel: Python 2 (SageMath)

החבילה SymPy

---

SymPy היא ספרייה למתמטיקה סימבולית המיועדת ל- Python. היא כתובה כולה רק ב-Python, כך שאין צורך בסיפריות נוספות כדי להשתמש בה. בכוונת מפתחי ה- Sympy לפתחה עד כדי מערכת המכילה את כל התכונות והיכולות של תוכנות CAS (Computer Algebra System). המפתחים מנסים לשמור את הקוד פשוט ככל האפשר כדי ליצור חבילה קלה להבנה ושאפשר להרחיבה בקלות. באופן בסיסי Sympy היא מחשבון סימבולי, אבל יתרונה בכך שאפשר להשתמש בה בתוכנית מחשב.

import sympy as sp
#from sympy import *
sp.init_printing()

import math

math.sqrt(2)

$$1.41421356237$$

sp.sqrt(2)

$$\sqrt{2}$$

sp.acos(0.5)

$$1.0471975511966$$

sp.acos(1/2)

$$\frac{\pi}{2}$$

תרגיל 1

חשבו: $$acos(-1)$$

$$\sqrt5$$ $$\sqrt9$$

sp.sin(math.pi)

$$1.22464679914735 \cdot 10^{-16}$$

Symbols

האוביקט הבסיסי ב- Sympy הוא ה- Symbol אוביקט זה מייצג משתנה מתמטי. יצירת אובייקט זה נעשיית באמצעות הפונקציה Symbol

x,y,z=sp.symbols('x y z')
alpha,beta,gamma=sp.symbols('alpha,beta,gamma')
sp.sin(alpha)**2+sp.sin(beta)**2

$$\sin^{2}{\left (\alpha \right )} + \sin^{2}{\left (\beta \right )}$$

תרגיל 2

בעזרת הפונקציה symbols צרו את המשתנים mu ו- sigma (החליפו את ה- ? בקוד המתאים)

mu,sigma=sp.symbols('?')
mu,sigma

---------------------------------------------------------------------------
TypeError                                 Traceback (most recent call last)
<ipython-input-56-33eeddf750a1> in <module>()
----> 1 mu,sigma=sp.symbols('?')
      2 mu,sigma
TypeError: 'Symbol' object is not iterable

תרגיל 3

הגדירו את הפונקציה $e^{ {-(x-\mu)^2}\over{\sigma^2}}$ פונקציה זו מכונה פונקציית הפעמון.

את הפונקציה $e^x$ מגדירים כ- (exp(x

גזירה של פונקציה

a=sp.Symbol('a')
sp.diff(a*x**3,x)

bell.diff(x)

שרטוט גרף באמצעות sympy.plotting

%matplotlib -- inline
from sympy.plotting import *
plot(sp.exp(-(x-3)**2),(x,-1,6))

תרגיל 4

חשבו את הניגזרת השנייה של פונקציית "הפעמון" ושרטטו גרף שלה (הניחו כי :$\sigma=3.0$ ו- $\mu=1.5$ )
הערה: חשבו את הנגזרת ולאחר מכן הגדירו את ביטוי הניגזרת מחדש כאשר אתם מציבים ערכים לפרמטרים: $\mu,\sigma$.

הפונקציות simplify, subs,expand,evalf

a,b,c,d=sp.symbols('a b c d')
expr=(a-b)*(a+b)**2
sp.expand(expr)

expr.expand()

new_expr=expr.subs([(a,3),(b,d*c/2)])
new_expr

sp.simplify(new_expr)

new_expr.subs([(c,2.4),(d,3)]).evalf()

תרגיל 5

בעזרת הפונקציה help בדקו מה פעולת הפונקציה simplify.

מה עושה כל אחת מהפונקציות subs, evalf ו- expand

תרגיל 6

הפעילו את הפונקציה simplify על הניגזרת השלישית של פונקציית הפעמון

תרגיל 7

פשטו את הביטוי : $(x+1)^2 \over {1-x^2}$ (הפונקציה simplify)

תרגיל 8

הפעילו על הביטוי הקודם את הפונקציה expand.

תרגיל 9

הביטוי שלמטה הוא נוסחת הרון לחישוב שטח משולש שצלעותיו הן a,b ו-s. c הוא חצי היקף המשולש. השתמשו בפונקציה subs וחשבו את שטח המשולש אם נתון ש: a=6, b=7, c=9

קודם הציבו במקום s את מחצית סכום הצלעות ולאחר מכן הציבו את הערכים.

a,b,c,s=sp.symbols('a,b,c,s')
area=sp.sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))

בדיקת שוויון

x,y=sp.symbols('x y')
a=(x-y)**2
b=x**2-2*x*y+y**2
a==b

sp.simplify(a-b)

יצירת משוואה

יוצרים משוואה באמצעות הפונקציה Eq

import sympy as sp
e=sp.Eq(y,4*x**2-x+3)
e

e.lhs

e.rhs

sp.solve(e,x)
ֿ

תרגיל 10

כתבו פונקציה המקבלת שני ביטווים. הפונקציה צריכה tupl המכיל שני ערכים בוליאניים. הראשון מציין האם הביטויים זהים והשני האם הביטויים שווים מתמטית.

def equality_exercise(a,b):
    """Return a tuple of tow boolean. the first is True if a=b symbolicaly, 
    the second is True if a==b mathematically. 
    Examples
    ========
    >>> x=symbols('x')
    >>> equality_exercise(x,2)
    (False,False)
    >>> equality_exercise((x+1)**2,x**2+2*x+1)
    (False,True)
    >>> equality_exercise(4*x,4*x)
    (True,True)
    """
    return a==b,sp.simplify(a-b)==0

def equality_exercise(a,b):
    if a==b:
        print "they are mathametically equal"
    else:
        print "they're not mathamatically equal"
    if (a-b)==0:
        print "they are idantical"
    else:
        print "they're not identical"

דוגמא

קיבול חום סגול של חומר מוגדר ככמות האנרגיה שצריך לספק לכמות חומר שגודלה יחידת מסה אחת כדי לחמם אותה ב- $1^0C$. קיבול החום הסגולי של מים הוא $4.2{ J\over {gr\cdot 1^0C}}$ (האות J מציינת את יחידת האנרגיה ג'ול) הספק של גוף חימום שווה לכמות האנרגיה שפולט גוף החימום ביחידת זמן. יחידת ההספק היא ווט (W) והיא שווה לכמות אנרגיה של 1J בשנייה (s). בהמשך דוגמא לחישוב הזמן הדרוש לחימום דוד מים המכיל 150 ליטר מים בטמפרטורה של $23^0 C$ לטמפרטורה של $60^0C$בעזרת גוף חימום שהספקו 2000W.

הערה:

כאשר מצמידים גוף בטמפרטורה גבוהה לגוף בטמפרטורה נמוכה יותר עוברת אנרגיה מהגוף החם לקר עד שהטמפרטורות משתוות. כמות האנרגיה העוברת מהגוף החם לקר מכונה חום.

Q - כמות חום

T1- טמפרטורה התחלתית

T2- טמפרטורה סופית

m - מסת המים

c -קיבול חום סגולי של מים

P - הספק גוף החימום

##

חישוב כמות החום הדרושה לחימום המים:

c=4.2# J/gr-1C
m=1000 #gr
T1=5 #C
T2=60 #C
P=2000 #w
Q=c*m*(T2-T1)

חישוב הזמן:

t=Q/P
print( t, "s")

כפי שניתן לראות במקרה זה אין צורך להשתמש ב-Sympy לפתרון התרגיל.

השימוש ב- Sympy הוא הדרך הפשוטה לפתרון בעיות מסובכות והדרך המסובכת לפתרון בעיות פשוטות

תרגיל 11

נתון גוף שמסתו m1 בטמפרטורה T1 וקיבול חום C1.
מצמידים אותו לגוף שמסתו m2, הטמפרטורה שלו T2 וקיבול החום שלו C2. פתחו בעזרת Sympy
ביטוי לטמפרטורה הסופית של שני הגופים ( הניחו כי כמות החום שפלט האחד שווה לכמות החום שקלט השני).

import sympy as sp
sp.init_printing()
m1,m2,t1,t2,c1,c2,t3,q1,q2=sp.symbols('m1 m2 t1 t2 c1 c2 t3 q1 q2')
q1=(t1-t3)*c1*m1
q2=(t2-t3)*c2*m2
e=sp.Eq(q1,-q2)
x=sp.solve(e,t3)
x[0].subs({c1:4.2, c2:4.2, m1:1, m2:1,t1:5, t2:80})

$$42.5$$

הפונקציה solve

נתונה המשוואה: $$x- {1\over x}+b\cdot x=7$$

נמצא לה פתרון סימבולי:

x,b=sp.symbols('x b')
eq=sp.Eq(x-1/x+b*x,7)
print(eq)
ans=sp.solve(eq,x)
ans

פיתרון נומרי עבור b=5

print( ans[0].subs(b,5).n(3), ans[1].subs(b,5).n(3))

יותר מנעלם אחד:

x,y=sp.symbols('x,y')
sp.solve([sp.Eq(3*(x-y)**2+x-2,y),sp.Eq(y*x+x/3+y,1)],[x,y])

תרגיל 12

חלקיק נע במהירות קצובה לאורך הקו הישר: $y=m\cdot x+n$ . בנקודה (a,b) דיסקה ברדיוס r.

פתחו נוסחא באמצעותה ניתן לדעת האם החלקיק מתנגש בדיסקה ואם כן היכן.

היכן נקודת ההתנגשות עבור הערכים הבאים: a=2,b=3,m=1,n=0.5, ו- r=5

import sympy as sp
m,x,y,a,b,n,r,t,w=sp.symbols('m x y a b n r t w')
eq1=sp.Eq((x-a)**2+(y-b)**2,r**2)
eq2=sp.Eq(y,m*x+n)
t=sp.solve([eq1,eq2],[y,x])
(x1,y1) = t[0]
(x2,y2) = t[1]
m1,m2,t1,t2,c1,c2,t3,q1,q2=sp.symbols('m1 m2 t1 t2 c1 c2 t3 q1 q2')
q1=(t1-t3)*c1*m1
q2=(t2-t3)*c2*m2
e=sp.Eq(q1,-q2)
sp.solve(e,t3)
moti=x1.subs([(a,2),(b,3),(m,1),(n,0.5),(r,5)])
Shimon=x2.subs([(a,2),(b,3),(m,1),(n,0.5),(r,5)])
Yosaf=y2.subs([(a,2),(b,3),(m,1),(n,0.5),(r,5)])
Shlomo=y1.subs([(a,2),(b,3),(m,1),(n,0.5),(t,5)])
moti
Shimon
Yosaf
Shlomo

---------------------------------------------------------------------------
AttributeError                            Traceback (most recent call last)
<ipython-input-2-91f1adf5324d> in <module>()
     14 Shimon=x2.subs([(a,2),(b,3),(m,1),(n,0.5),(r,5)])
     15 Yosaf=y2.subs([(a,2),(b,3),(m,1),(n,0.5),(r,5)])
---> 16 Shlomo=y1.subs([(a,2),(b,3),(m,1),(n,0.5),(t,5)])
     17 moti
     18 Shimon
/ext/sage/sage-8.0/local/lib/python2.7/site-packages/sympy/core/basic.pyc in subs(self, *args, **kwargs)
    900             rv = self
    901             for old, new in sequence:
--> 902                 rv = rv._subs(old, new, **kwargs)
    903                 if not isinstance(rv, Basic):
    904                     break
/ext/sage/sage-8.0/local/lib/python2.7/site-packages/sympy/core/basic.pyc in _subs(self, old, new, **hints)
   1012             return new
   1013 
-> 1014         rv = self._eval_subs(old, new)
   1015         if rv is None:
   1016             rv = fallback(self, old, new)
/ext/sage/sage-8.0/local/lib/python2.7/site-packages/sympy/core/add.pyc in _eval_subs(self, old, new)
    677 
    678     def _eval_subs(self, old, new):
--> 679         if not old.is_Add:
    680             return None
    681 
AttributeError: 'list' object has no attribute 'is_Add'

שימו לב קטע הקוד הזה לא רץ כי יש בו בעיית syntax. טפלו בה

מציאת נקודות קיצון של פונקציה

בנקודת קיצון הניגזרת מתאפסת

$$f(x)=e^\frac{-(x^2-ax+b)}{c}$$

x,a,b,c=sp.symbols('x,a,b,c')
f=sp.exp(-(x**2-a*x-b)/c)
plot(f.subs([(a,2),(b,1),(c,3)]),(x,-4,5))

sp.solve(f.diff(x),x)

תרגיל 12

מזריקים כמות A של תרופה לחולה. הריכוז c של התרופה נימדד ב: $\frac{mg}{ml}$.
כעבור זמן t מרגע הזרקת התרופה הריכוז ניתן על ידי : $c(t)=Ate^{-t/3}$. הזמן נימדד בדקות.
הריכוז המקסימאלי המותר של התרופה הוא $1 \frac{mg}{ml}$

- איזו כמות מקסימאלית A מותר להזריק ? ומתי מתקבל הריכוז המקסימאלי?

- שרטטו גרף של הריכוז בדם כתלות בזמן והעריכו באמצעותו מתי מתקבל ריכוז של $0.25 \frac{mg}{ml}$

- מצאו לסעיף הקודם תשובה מדויקת בעזרת הפונקציה nsolv.

-כל כמה זמן צריך להזריק לחולה את התרופה כדי שהריכוז לא יהיה מעבר לערך המקסימאלי ולא יפחת מערך מינימאלי של $0.25 \frac{mg}{ml}$

A, t =sp.symbols('A t')
c_t = A * t * sp.exp(-t/3)
sp.solve(sp.diff(c_t,t),t)

---------------------------------------------------------------------------
NameError                                 Traceback (most recent call last)
<ipython-input-1-55cc0f3b0406> in <module>()
----> 1 A, t =sp.symbols('A t')
      2 c_t = A * t * sp.exp(-t/3)
      3 sp.solve(sp.diff(c_t,t),t)
NameError: name 'sp' is not defined