Assignment 2 Part 1 - final sumbmission.ipynb

Kernel: Python 3 (old Anaconda 3)

תרגיל מס 2 ב- SymPy

Name=['Roey Dvir']
import sympy as sp
sp.init_printing()

שאלה 1

בעזרת הנוסחא $\frac{g\cdot t^2}{2}$ אפשר לחשב את המרחק שגוף נופל עובר. "גוף נופל" הוא גוף המשוחרר ממנוחה. אבן הנופלת מגג בניין חולפת על פני חלון באורך $l$ במשך $\Delta t$. מה מרחק הקצה העליון של החלון מהגג? פתרו בעזרת SymPy בלבד.

import sympy as sp
sp.init_printing()
g,t1,t2,l,Δt= sp.symbols("g t1 t2 l Δt")
y1=(g*t1**2)/2
y2=(g*t2**2)/2
eq1=sp.Eq(y2-y1,l)
t2ValueInt1=sp.solve(eq1,[t2,t1])[1][t2]
dt=t2ValueInt1-t1
eq2=sp.Eq(dt,Δt)
t1ValueInΔt=sp.solve(eq2,[t1])[0]
Δy=(g*t1ValueInΔt**2)/2
display(Δy.simplify())

$$\frac{\left(g Δt^{2} - 2 l\right)^{2}}{8 g Δt^{2}}$$

שאלה 2

נתון כי בשאלה הקודמת $\Delta t=0.2s$ ו- $l=2 m$. חשבו את מרחק הקצה העליון של החלון מהגג.

ΔyValue=Δy.subs([(Δt,0.2),(l,2),(g,9.8)])
display(ΔyValue)

$$4.15104081632653$$

שאלה 3

מהירות שחיין במים עומדים היא c. השחיין שוחה מרחק d במורד נהר וחוזר במעלה הנהר. מהירות זרימת המים בנהר v. פתחו ב-Sympy ביטוי למשך הזמן הדרוש לשחיין לבצע את הדרך הלוך ושוב.

c,d,v,t1,t2 = sp.symbols('c d v t1 t2')
d1 = sp.Eq(d, c * t1 + v * t1)
d2 = sp.Eq(d, c * t2 - v * t2)
time1 = sp.solve(d1, (t1, c, d, v))[0][t1]
time2 = sp.solve(d2, (t2, c, d, v))[0][t2]
tf1 = time2 + time1
display(tf1.simplify())

$$\frac{2 c d}{\left(c - v\right) \left(c + v\right)}$$

שאלה 4

רוחב הנהר בשאלה הקודמת הוא d. פתחו ביטוי לכיוון שבו על השחיין לשחות כדי להתקדם בכיוון הניצב לגדת הנהר.

c,v = sp.symbols('c v')
alpha = sp.asin(v/c)+270/180*sp.pi
alpha

$$\operatorname{asin}{\left (\frac{v}{c} \right )} + 1.5 \pi$$

שאלה 5

עבור שאלות 3 ו- 4 חשבו את היחס בין הזמן הדרוש לשחיין לשחות מרחק d במורד הנהר ולחזור לבין הזמן הדרוש לו לחצות את הנהר הלוך ושוב.

t3 = sp.symbols('t3')
d3=sp.Eq(d,c*sp.cos(alpha-1.5*sp.pi)*t3)
time3=sp.solve(d3,[t3])[0]
time4=time3
tf2=time3+time4
x=tf1/tf2
x

$$\frac{c^{2} \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}{\left(c - v\right) \left(c + v\right)}$$

שאלה 6

נתון בניין בגובה H. מתחתית הבניין זורקים מעלה אבן במהירות v0. מצאו גבול תחתון למהירות הדרושה כדי שהאבן תגיע לראש הבניין. נניח כי מקנים לגוף מהירות גדולה יותר, פתחו ביטוי לזמנים בהם חולפת האבן על פני הבניין והפכו בעזרת הפונקציה lambdify את הביטוי לפונקציה נומרית.

import sympy as sp
from sympy.abc import x, z
sp.init_printing()
H,v0,t,g = sp.symbols("H v0 t g")
eq1=sp.Eq(0,v0**2-2*g*H)
v0min = sp.solve(eq1,[v0])[1]
display(v0min)
print("v0 >= ",v0min)
eq2=sp.Eq(v**2,v0**2-2*g*H)
t1=sp.solve(eq2,[t])[0]
t2=sp.solve(eq2,[t])[1]
display(t1,t2)

$$\sqrt{2} \sqrt{H g}$$

v0 >=  sqrt(2)*sqrt(H*g)

$$\frac{1}{g} \left(v_{0} - \sqrt{- 2 H g + v_{0}^{2}}\right)$$

$$\frac{1}{g} \left(v_{0} + \sqrt{- 2 H g + v_{0}^{2}}\right)$$

/ext/anaconda3/lib/python3.5/site-packages/numpy/__init__.py:1: RuntimeWarning: invalid value encountered in sqrt
  """

$$\left [ 0.204081632653, \quad 10.0\right ]$$

$$\left [ nan, \quad nan\right ]$$

$$\left [ 4.48538661702, \quad 4.5499228958\right ]$$

$$\left [ 4.41665098479, \quad 4.62073261745\right ]$$

הראו שהפונקציה שקיבלתם עבור הזמן עובדת באמצעות מספר דוגמאות מתאימות

tf=sp.lambdify((x,z),[(t1.subs([(H,x),(v0,z),(g,9.8)])),(t2.subs([(H,x),(v0,z),(g,9.8)]))])
display(tf(10,50),tf(100,1959**0.5),tf(100,1960.1**0.5),tf(100,1961**0.5))

/ext/anaconda3/lib/python3.5/site-packages/numpy/__init__.py:1: RuntimeWarning: invalid value encountered in sqrt
  """

$$\left [ 0.204081632653, \quad 10.0\right ]$$

$$\left [ nan, \quad nan\right ]$$

$$\left [ 4.48538661702, \quad 4.5499228958\right ]$$

$$\left [ 4.41665098479, \quad 4.62073261745\right ]$$

שאלה 7

שרטטו גרף באמצעותו ניתן להמחיש את השאלה הקודמת.

#מה צריך להמחיש?
#לא מובן מה צריך לעשות

שאלה 8

נתון הפולינום $x^{3} - 6 x^{2} + 5 x + 12$ מצאו את כל השורשים שלו, פעם בעזרת הפונקציה solve ופעם באמצעות הפונקציה factor.

x = sp.symbols("x")
func = x**3-6*x**2+5*x+12
display(func)
sol1 = sp.solve(func, x)
display(sol1)
func = func.factor()
display(func)
sol2 = [sp.nsolve(func, x, 4), sp.nsolve(func, x, 3), sp.nsolve(func, x, -1)]
display(sol2)

$$x^{3} - 6 x^{2} + 5 x + 12$$

$$\left [ -1, \quad 3, \quad 4\right ]$$

$$\left(x - 4\right) \left(x - 3\right) \left(x + 1\right)$$

$$\left [ 4.0, \quad 3.0, \quad -1.0\right ]$$

שאלה 9

פונקציית מקום זמן של חלקיק ניתנת על ידי: $$x(t)=A\cdot 2^{-\frac{t}{T}}$$
כאשר T הוא קבוע הניתן בשניות ו-A ניתן במטרים. פתחו ביטוי למהירות ותאוצת החלקיק כתלות בזמן. כמו כן שרטטו גרפים דינאמיים של המקום, המהירות והתאוצה. שנו את A בתחום שבין 0.1 ל-5 ואת T בתחום שבין 0.1 ל- 2.

import sympy as sp
sp.init_printing()
A,t,T=sp.symbols("A t T")
x=A*2**(-t/T)
v=x.diff(t)
a=x.diff(t).diff(t)
display(x,v,a)
#help(sp.plot)

sp.plot(x.subs([(T,1),(A,2)]), (t, 0, 30), title="x(t)")
sp.plot(v.subs([(T,1),(A,2)]), (t, 0, 30), title="v(t)")
sp.plot(a.subs([(T,1),(A,2)]), (t, 0, 30), title="a(t)")

$$2^{- \frac{t}{T}} A$$

$$- \frac{A}{T} 2^{- \frac{t}{T}} \log{\left (2 \right )}$$

$$\frac{A}{T^{2}} 2^{- \frac{t}{T}} \log^{2}{\left (2 \right )}$$

<sympy.plotting.plot.Plot at 0x7f57f2807cc0>