Assignment 2 Part 2 - Final Submission.ipynb

Kernel: SageMath (stable)

import sympy as sp #sympy ייבוא הסיפריה 
import sympy.plotting as plt #sympy ייבוא הסיפריה הגרפית של 
sp.init_printing()#latex הדפסת נוסחאות בכתיב מתמטי מקובל באמצעות 
%matplotlib -- inline

שרטוט הגרף

בעיית הרכבות

אחת הבעיות המוכרות בפיסיקה היא בעיה העוסקת בנהג רכבת נוסעים הנוסעת במהירות קבועה v המבחין לפניו במרחק d ברכבת משא הנוסעת אף היא במהירות קבועה u. הנהג מפעיל את בלמי הרכבת והיא בולמת בקצב קבוע. השאלה היא מה צריך להיות הגודל המינימאלי של תאוצת הרכבת a כדי למנוע תאונה?
נגדיר את הרגע שבו מבחין נהג קטר רכבת הנוסעים ברכבת המשא כזמן $t_0=0$ פונקצית מקום זמן של רכבת המשא תינתן ע"י $x_2=d+u\cdot t$. פונקצית מקום זמן של רכבת הנוסעים תינתן ע"י: $x_1=v\cdot t-{1\over 2} a\cdot t^2$
בשלב ראשון נשרטט גרף מקום זמן של רכבת המשא:

a,d,u,v,t=sp.symbols('a d u v t')
x1=v*t-0.5*a*t**2
x2=d+u*t
dval = 500 #m
uval = -1 # m/s
plt.plot(x2.subs([(d,dval),(u,uval)]), (t ,0, 20),xlabel = 't(s)', ylabel = '$x_{2}(m)$',ylim =(-100, 1000),fontsize = 15)

<sympy.plotting.plot.Plot object at 0x7fb7b4ab3a90>

תרגיל 1

שנו את מהירות רכבת המשא u ואת המרחק ההתחלתי בין שתי הרכבות. כיצד הדבר משפיע על הגרף?

When you change u, the slope changes and when you change d the intersection point with they y axis they y axis changes. |

תרגיל 2

צרו על אותה מערכת צירים שני גרפים של המקום כתלות בזמן של שתי הרכבות. קבעו את ערכם ההתחלתי של הפרמטרים ל-d=100m v=25m/s ו-u=10m/s. בעזרת ניסוי וטעייה מצאו את התאוצה a שתימנע תאונה.

dval = 100 #m
uval = 10 # m/s
vval=25 # m/s
aval=1.13 # m/s^2
plt.plot(x1.subs([(v,vval),(a,aval)]),x2.subs([(d,dval),(u,uval)]), (t ,0, 20),xlabel = 't(s)',ylim =(-100, 1000),fontsize = 15)
# a=1.125 מעל

תרגיל 3

בעזרת sympy פתחו ביטוי לתאוצה a כתלות ב- d,u,ו- v.אמתו את תשובתכם באמצעות השוואה לפתרון הגרפי. כמו כן מצאו ביטויים למקום וזמן ההתנגשות.

#******
eq=sp.Eq(x1,x2)
aval=sp.solve(eq,[t,a,d,u,v])[0][a]
display(eq,aval)
t1=sp.solve(eq,[t])[0]
t2=sp.solve(eq,[t])[1]
display(t1,t2)
aval1=aval.subs([(t,t1)])
aval2=aval.subs([(t,t2)])
display(aval1,aval2)
xintersection1=x2.subs([(t,t1)])
xintersection2=x2.subs([(t,t2)])
display(xintersection1, xintersection2)

$$- 0.5 a t^{2} + t v = d + t u$$

$$\frac{2.0}{t^{2}} \left(- d + t \left(- u + v\right)\right)$$

$$\frac{1}{a} \left(- u + v - \sqrt{- 2.0 a d + u^{2} - 2.0 u v + v^{2}}\right)$$

$$\frac{1}{a} \left(- u + v + \sqrt{- 2.0 a d + u^{2} - 2.0 u v + v^{2}}\right)$$

$$\frac{2.0 a^{2} \left(- d + \frac{1}{a} \left(- u + v\right) \left(- u + v - \sqrt{- 2.0 a d + u^{2} - 2.0 u v + v^{2}}\right)\right)}{\left(- u + v - \sqrt{- 2.0 a d + u^{2} - 2.0 u v + v^{2}}\right)^{2}}$$

$$\frac{2.0 a^{2} \left(- d + \frac{1}{a} \left(- u + v\right) \left(- u + v + \sqrt{- 2.0 a d + u^{2} - 2.0 u v + v^{2}}\right)\right)}{\left(- u + v + \sqrt{- 2.0 a d + u^{2} - 2.0 u v + v^{2}}\right)^{2}}$$

$$d + \frac{u}{a} \left(- u + v - \sqrt{- 2.0 a d + u^{2} - 2.0 u v + v^{2}}\right)$$

$$d + \frac{u}{a} \left(- u + v + \sqrt{- 2.0 a d + u^{2} - 2.0 u v + v^{2}}\right)$$