assignment6_matrices2.ipynb

Kernel: SageMath (stable)

import sympy as sp
import matplotlib.pyplot as plt
sp.init_printing()

מטריצות-בשביל מה זה טוב?

שמות:

בעבודה קודמת הכרתם את המטריצות ואת האלגברה שלהן. בסעיף זה תכירו את היתרונות והשימושים השונים של ההצגה המטריציונית

פיתרון של מערכת משוואות ליניארית

שימוש אחד הוא בהצגה ופיתרון של מערכת משוואות ליניארית. נתונה מערכת המשוואות הבאה :

$$ 3x + 2y + z = 2$$
$$ x + 5y+z=1$$
$$2x-y-7z=14$$

נגדיר את מטריצת מטריצת המקדמים את המטריצה: $$\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 5 & 1\\ 2 & -1& -7 \end{pmatrix}$$ נגדיר שני ווקטורי עמוד: $$\begin{equation}

X= $$\begin{pmatrix} x\\ y \\ z \end{pmatrix}$$,

B=$$\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 14 \end{pmatrix}$$ \end{equation}$$

תרגילים

1. מצאו בעזרת הפונקציה solve של החבילה sympy את הפתרון של מערכת המשוואות: $$3x + 2y + z = 2$$ $$x + 5y+z=1$$ $$2x-y-7z=14$$

2. הגדירו בעזרת sympy את מטריצת המקדמים A המטריצה B ואת מטריצת העמוד X.

3. הראו כי ניתן להציג את מערכת המשוואות בצורה: $AX=B$

4. הראו כי המכפלה $A^{-1}B$ נותנת וקטור שרכביו הם פתרונות המערכת.

5. מסתו של הגוף היא $4kg$. הוא נע לכיוון אופקי בתאוצה קבועה של$20m/s^2$. על הגוף פועלים שני כוחות, עוח $F_1$ הפועל בזווית $30^o$ לתאוצה ולמעלה וכוח $F_2$ הפועל מטה.
א. הרכיבו מערכת משוואות באמצעותה תוכלו לחש את גודלו של כל אחד מהכוחות.
ב. הגדירו את מטריצת המקדמים.
ג. בעזרת sympy מצאו פתרון למערכת המשוואות.

ד. קטע הקוד שבהמשך משרטט חץ על המסך. הרחיבו את קטע הקוד באופן כזה שישרטט תרשים כוחות של הבעיה וידפיס ליד כל כוח את גודלו.

fig = plt.figure(figsize = (5,5))
plt.arrow(0, 0, 0.5, 0.5, head_width=0.05, head_length=0.1, fc='m', ec='m')
plt.text(0.3,0.25, "$F_1$",fontsize = 15)
plt.title('Force diagram')

<matplotlib.text.Text at 0x7f397c9aab70>

קריאת קובץ נתונים לרשימה

בסעיף זה תלמדו לפתוח קובץ נתונים המכיל שיעורי נקודות במישור והכנסת הנתונים לרשימה באופן כזה שכל מקום ברשימה מכיל את שיעורי אחת הנקודות.

בתת המחיצה meeting6 שבמחיצה data נמצא קובץ בשם nospmis.txt. כדי לפותוח קובץ משתמשים בפקודה:

 f=open("path /file_name",'r') 

כאשר path הוא הנתיב המלא לקובץת במקרה זה /home/user/meeting6 ו- file_name הוא שם הקובץ. הפרמטר השני בפונקציה open מציין שהקובץ הוא לקריאה בלבד. כדי לקרוא את תוכן קובץ בשם f לרשימה בשם data משתמשים בקטע קוד כדוגמת זה שבהמשך:

for line in f.readlines(): 
    x,y=line.split() 
    data.append([float(x),float(y)]) 

הפונקציה readlines מחזירה רשימה שכל איבר בה הוא שורה אחת מהקובץ. הפונקציה split מפרידה מחרוזת למילים, במקרה זה לתווים המיצגים מספרים .

6. קראו את הקובץ nospmis.txt לרשימה, ובעזרת הפונקציה Matrix היפכו רשימת נתונים זו למטריצה שבה כל שורה מכילה שני נותונים נומריים. נתונים אלו הם שיעורי נקודה במישור.

נגדיר את שני ווקטורי העמוד הבאים:

e1 = sp.Matrix([[1, 0]]).T
e2 = sp.Matrix([[0, 1]]).T
e1, e2

$$\left ( \left[\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right]\right )$$

7.הראו כי כל וקטור דו מימדי שרכיביו הם 1 $C_1$ ו- $C_2$ ניתן לכתוב בצורה: $C_1\cdot e_1+C_2\cdot e_2$. הווקטורים $ק_1$ ו- $e_2$ מכונים בסיס אורתונורמאלי.

8. נניח כי נתונה מערכת צירים אחת, שהזווית בינה לבין ציר ה- x של מערכת הצירים בה נתונים רכיבי $e_1$ ו-$e_2$ היא $\theta$. בטאו את רכיבי הווקטורים $e_1$ ו- $e_2$ במערכת המסובבת באמצעות $\theta$.

9.נתונים הווקטרוים $i=\left[\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right]$ ו-$j=\left[\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right]$. ווקטורים אלו מהווים בסיס אותונורמאלי במערכת המסובבת. בטאו את הווקטורים $e_1$ ו- $e_2$בעזרת i ו- j.

10. בטאו את הווקטור $C$ בעזרת הווקטורים i ו- j.

11. מצאו מטריצה S שאם תוכפל בווקטור C תיתן את רכיבי הווקטור C במערכת המסובבת.

12. חשבו את איברי המטריצה S עבור $\theta=30^o$

8. הכפילו את המטריצה המכילה את הנקודות ב-S ושרטטו על אותה מערכת צירים, בשני צבעים שונים, את תמונת האישיות כאשר היא ישרה וכאשר היא מסובבת.