Jupyter notebook 2015-11-11-154930.ipynb

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Kernel: Python 2

Proyecto final.

Plano inclinado.

Este problema está formado por dos tramos muy diferentes: un movimiento en el plano inclinado con aceleración constante (primer tramo), y un movimiento como proyectil en el campo gravitatorio del plano (XY) más allá del plano inclinado (segundo tramo). En cada tramo debemos hacer un análisis de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula y luego aplicar la segunda Ley de Newton para obtener la aceleración correspondiente.

Una partícula de masa m se desliza con fricción sobre un plano inclinado que forma un ángulo de 30 ° respecto al suelo. El plano inclinado tiene una base b igual a 4m y una altura h. Si la particula tiene una velocidad inicial (V0) y el coeficiente de fricción es igual a 0.5, calcula:

a) La aceleración que siente la particula en un plano inclinado.

b) La velocidad (V1) al final del plano inclinado.

c) Al salir del plano, la particula se mueve como un proyectil. Hallar la aceleración del moviemiento.

d) La altura máxima.

In [33]:

from numpy import pi
#Datos del problema del plano inclinado.
v0=10
b=4
g= 9.8
theta= pi/6
mu=0.5

La aceleración está dada por: a= -g(sin(theta)+ mu (cos(theta))

In [34]:

print 'La aceleración en el plano inclinado está dada por la ecuación a= -g(sin(theta)+ mu (cos(theta))'
from numpy import sin, cos, tan
a=-g *(sin(theta) + mu *cos(theta) )
print 'La respuesta al inciso "a" al sustuir los valores dados es', a, 'metros sobre segundo al cuadrado'

Out[34]:

La aceleración en el plano inclinado está dada por la ecuación a= -g(sin(theta)+ mu (cos(theta))
La respuesta al inciso "a" al sustuir los valores dados es -9.14352447854 metros sobre segundo al cuadrado

Conocido el valor de la aceleración se puede conocer el valor de la velocidad después de recorrer el plano inclinado de largo (L). El cuál se obtiene por trigonometría.

In [35]:

L= b/ cos(theta)
print L

Out[35]:

4.61880215352

Las ecuaciones de movimiento con aceleración constante en una dimensión:

v= v0 + at

x= v0t + 1/2 at**2

si se elimina el tiempo obtenemos: v2= v02 + 2ax

Remplazando los datos en esta ecuacion usando x=L y a

v2=100(m/s2)-2(-9.14352447854)(4.61880215352)

In [36]:

#Remplazando los datos en esta ecuación usando x=L y a y sacando raíz cuadrada.
import math
v=math.sqrt(v0**2-2*- a* L)
print  'Respuesta al inciso b, la velocidad final en el plano inclinado es: ', v, 'metros sobre segundo.'

Out[36]:

Respuesta al inciso b, la velocidad final en el plano inclinado es:  3.94154016795 metros sobre segundo.

La aceleración de la partícula una vez que ha salido del plano. Cuando una partícula está en el aire, la única fuerza que actúa sobre esta es la fuerza peso: w=-mg(j).Aplicando la segunda Ley de Newton Fr= f1+f2+f3+...fn=ma. Se tiene mg=ma pero g=-g(j) entonces m(-g(j))=ma

Por lo tanto se obtiene a=-g(j), la aceleración es constante y corresponde al movimiento de proyectiles.

Las ecuaciones vectoriales de movimiento con aceleración a=-g(j) vienen dadas por:

v=v0+(-g(j))t , r=r0+v0t+1/2(-g(j))t2, pero sabemos el valor de v0= v entonces tenemos y=v0t-1/2gt2

El tramo del vector velocidad del segundo tramo v0 hace un angulo theta=30° con el eje x.

In [37]:

#Los componentes del vector de velocidad inicial vienen dadas por: 

vx= v *cos(theta)
vy= v *sin(theta)

print 'Numerícamente usando v0=v, se obtiene: vx=', vx,'y vy=', vy

Out[37]:

Numerícamente usando v0=v, se obtiene: vx= 3.41347391548 y vy= 1.97077008397

Para obtener la altura máxima se obtiene el tiempo: La altura máxma ym se alcanza cuando la particula ya no tiene velocidad vertical v para seguir subiendo, es decir vy=0

remplanzando en la ecuación v0y-gt:

0= v0y-gt, se despeja y se obtiene el tiempo:

In [38]:

# Tiempo 
t= vy/g
print 'El tiempo es igual a:', t

Out[38]:

El tiempo es igual a: 0.201098988161

Para calcular la altura máxima (ym) utilizamos el tiempo (t) y sustituimos en la ecuación:

ym= vy t -1/2 gt**2 y se simplifica.

In [39]:

#La altura máxima
ym= vy**2/2*g
ym1= vy**2/2*g/100
print 'La respuesta al inciso d es, altura máxima de la partícula:',ym , 'y en metros es: ', ym1,

Out[39]:

La respuesta al inciso d es, altura máxima de la partícula: 19.031280147 y en metros es:  0.19031280147

Calcular el alcance d, más allá del plano inclinado. Las coordenadas donde llega la partícula a tierra: x= d, y=-h

h está dada por la relación:

h= b tan 30

# Usando la ecuación de la trayectoria: -h= d tan 30 - gd2/ 2v0cos2(30)

In [40]:

#la altura h está dada por
h=b*tan(theta)
print 'La altura es igual a: ', h

Out[40]:

La altura es igual a:  2.30940107676

In [41]:

%matplotlib inline

In [42]:



#Programa para graficar theta vs a
from pylab import linspace, sin, cos, pi
import matplotlib.pyplot as plt

theta=linspace(0,pi/2,100)
a=-g *(sin(theta) + mu *cos(theta) )


fig = plt.figure()
axes = fig.add_axes([0.1,0.1,0.8, 0.8])

axes.plot(theta, a, 'r')

axes.set_xlabel(r'\theta [rads]')
axes.set_ylabel('a [m/s]')
axes.set_title('Grafica aceleracion');
axes.grid(True)

Out[42]:

In [ ]:

In [ ]:

Proyecto final.

Plano inclinado.

Una partícula de masa m se desliza con fricción sobre un plano inclinado que forma un ángulo de 30 ° respecto al suelo. El plano inclinado tiene una base b igual a 4m y una altura h. Si la particula tiene una velocidad inicial (V0) y el coeficiente de fricción es igual a 0.5, calcula:

a) La aceleración que siente la particula en un plano inclinado.

b) La velocidad (V1) al final del plano inclinado.

c) Al salir del plano, la particula se mueve como un proyectil. Hallar la aceleración del moviemiento.

d) La altura máxima.

La aceleración está dada por: a= -g(sin(theta)+ mu (cos(theta))

Conocido el valor de la aceleración se puede conocer el valor de la velocidad después de recorrer el plano inclinado de largo (L). El cuál se obtiene por trigonometría.

Las ecuaciones de movimiento con aceleración constante en una dimensión:

v= v0 + at

x= v0t + 1/2 at**2

si se elimina el tiempo obtenemos: v2= v02 + 2ax

Remplazando los datos en esta ecuacion usando x=L y a

v2=100(m/s2)-2(-9.14352447854)(4.61880215352)

La aceleración de la partícula una vez que ha salido del plano. Cuando una partícula está en el aire, la única fuerza que actúa sobre esta es la fuerza peso: w=-mg(j).Aplicando la segunda Ley de Newton Fr= f1+f2+f3+...fn=ma. Se tiene mg=ma pero g=-g(j) entonces m(-g(j))=ma

Por lo tanto se obtiene a=-g(j), la aceleración es constante y corresponde al movimiento de proyectiles.

Las ecuaciones vectoriales de movimiento con aceleración a=-g(j) vienen dadas por:

v=v0+(-g(j))t , r=r0+v0t+1/2(-g(j))t2, pero sabemos el valor de v0= v entonces tenemos y=v0t-1/2gt2

El tramo del vector velocidad del segundo tramo v0 hace un angulo theta=30° con el eje x.

Para obtener la altura máxima se obtiene el tiempo: La altura máxma ym se alcanza cuando la particula ya no tiene velocidad vertical v para seguir subiendo, es decir vy=0

remplanzando en la ecuación v0y-gt:

0= v0y-gt, se despeja y se obtiene el tiempo:

Para calcular la altura máxima (ym) utilizamos el tiempo (t) y sustituimos en la ecuación:

ym= vy t -1/2 gt**2 y se simplifica.

Calcular el alcance d, más allá del plano inclinado. Las coordenadas donde llega la partícula a tierra: x= d, y=-h

h está dada por la relación:

h= b tan 30

# Usando la ecuación de la trayectoria: -h= d tan 30 - gd2/ 2v0cos2(30)

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