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1
\subsection{Spezielle Graphen}

2
\begin{frame}{Vollständige Graphen}

3
\begin{block}{Vollständiger Graph}

4
Sei $G = (E, K)$ ein Graph.

5


6
$G$ heißt \textbf{vollständig} $:\Leftrightarrow K = E \times E \setminus \Set{\Set{e, e} | e \in E}$

7
\end{block}

8


9
Ein vollständiger Graph mit $n$ Ecken wird als $K_n$ bezeichnet.

10
\pause

11
\tikzstyle{vertex}=[draw,fill=black,circle,minimum size=10pt,inner sep=0pt]

12
\begin{gallery}

13
    \galleryimage[Green]{vollstaendig/k-1}

14
    \galleryimage[Green]{vollstaendig/k-2}

15
    \galleryimage[Green]{vollstaendig/k-3}

16
    \galleryimage[Green]{vollstaendig/k-4}\\

17
    \galleryimage[Green]{vollstaendig/k-5}

18
    \galleryimage[Green]{vollstaendig/k-6}

19
    \galleryimage[Green]{vollstaendig/k-7}

20
    \galleryimage[Green]{vollstaendig/k-16}

21
\end{gallery}

22
\end{frame}

23


24
\begin{frame}{Bipartiter Graph}

25
\begin{block}{Bipartiter Graph}

26
Sei $G = (E, K)$ ein Graph und $A, B \subset E$ zwei disjunkte Eckenmengen mit

27
$E \setminus A = B$.

28


29
$G$ heißt \textbf{bipartit} $:\Leftrightarrow \forall_{k = \Set{e_1, e_2} \in K}: (e_1 \in A \text{ und } e_2 \in B) \text{ oder } (e_1 \in B \text{ und } e_2 \in A) $

30
\end{block}

31


32
\begin{gallery}

33
    \galleryimage[Green]{bipartit/k-2-2}

34
    \galleryimage[Green]{bipartit/k-2-3}

35
    \galleryimage[Green]{vollstaendig-bipartit/k-2-5}

36
    \galleryimage[Green]{vollstaendig-bipartit/k-3-3}\\

37
    \galleryimage[Green]{vollstaendig-bipartit/k-3-4}

38
    \galleryimage[Green]{vollstaendig-bipartit/k-3-5}

39
    \galleryimage[Green]{vollstaendig-bipartit/k-4-5}

40
    \galleryimage[Green]{vollstaendig-bipartit/k-5-5}

41
\end{gallery}

42
\end{frame}

43


44
\begin{frame}{Vollständig bipartiter Graph}

45
\begin{block}{Vollständig bipartiter Graph}

46
Sei $G = (E, K)$ ein bipartiter Graph und $\Set{A, B}$ bezeichne die Bipartition.

47


48
$G$ heißt \textbf{vollständig bipartit} $:\Leftrightarrow A \times B = K$

49
\end{block}

50


51
\begin{gallery}

52
    \galleryimage[red]{bipartit/k-2-2}

53
    \galleryimage[red]{bipartit/k-2-3}

54
    \galleryimage[Green]{vollstaendig-bipartit/k-2-5}

55
    \galleryimage[Green]{vollstaendig-bipartit/k-3-3}\\

56
    \galleryimage[Green]{vollstaendig-bipartit/k-3-4}

57
    \galleryimage[Green]{vollstaendig-bipartit/k-3-5}

58
    \galleryimage[Green]{vollstaendig-bipartit/k-4-5}

59
    \galleryimage[Green]{vollstaendig-bipartit/k-5-5}

60
\end{gallery}

61
\end{frame}

62


63
\begin{frame}{Vollständig bipartite Graphen}

64
Bezeichnung: Vollständig bipartite Graphen mit der Bipartition $\Set{A, B}$

65
bezeichnet man mit $K_{|A|, |B|}$.

66


67
\begin{gallery}

68
    \galleryimage[Green]{vollstaendig-bipartit/k-2-2}

69
    \galleryimage[Green]{vollstaendig-bipartit/k-2-3}

70
    \galleryimage[Green]{vollstaendig-bipartit/k-2-5}

71
    \galleryimage[Green]{vollstaendig-bipartit/k-3-3}\\

72
    \galleryimage[Green]{vollstaendig-bipartit/k-3-4}

73
    \galleryimage[Green]{vollstaendig-bipartit/k-3-5}

74
    \galleryimage[Green]{vollstaendig-bipartit/k-4-5}

75
    \galleryimage[Green]{vollstaendig-bipartit/k-5-5}

76
\end{gallery}

77
\end{frame}

78


79
\begin{frame}{Aufgabe 2}

80
Wie viele Ecken und wie viele Kanten hat der $K_{m, n}$?

81


82
\visible<2>{

83
    \begin{align}

84
        \text{Ecken: }  &m+n\\

85
        \text{Kanten: } &m\cdot n

86
    \end{align}

87
}

88
\end{frame}

89


90