Assignment 3 - Final submission.ipynb

Kernel: Python 3 (old Anaconda 3)

שם: רועי דביר

import sympy as sp
%matplotlib -- inline
sp.init_printing()

הפונקציה המעריכית ובסיס הלוגריתמים הטבעי e.

מה המשותף לגידול מושבת חיידקים, חישובי ריבית והתפרקות רדיואקטיבית? התשובה לשאלה זו היא הפונקציה המעריכית. הצורה הכללית של הפונקציה המעריכית היא: $f(x)=a^{b\cdot x}$ .
a ו- b הם פרמטרים. בסעיף זה תכירו את הפונקציה המעריכית ואת תכונותיה.

נתונה מושבת חיידקים בעלת משאבים לא מוגבלים. חיידק מתחלק בכל 20 דקות. אם מספר החיידקים בזמן מסוים הוא $N_0$ אזי כעבור 20 דקות מספרם יגדל ל-$2N_0$ וכעבור עוד 20 דקות מספרם יגדל ל-$4N_0$. השורה השנייה בטבלה מתארת את מספר החיידקים כתלות בזמן.

80	60	40	20	0	t(min)
$16N_0$	$8N_0$	$4N_0$	$2N_0$	$N_0$	$N$
$N_02^4$	$N_02^3$	$N_02^2$	$N_02^1$	$N_02^0$	$N$

השורה השלישית בטבלה מתארת את מספר החלקיקים כתלות במספר פרקי הזמן של 20 דקות שחלפו. אפשר לראות מהטבלה כי הביטוי הכללי למספר החיידקים כתלות בזמן הוא:

$$N(t)=N_0\cdot 2^{t/20}$$

בכל מקרה שבו מושבת חיידקים מתפתחת ללא מגבלה, ניתן למצוא את מספר החיידקים בזמן $t$ באמצעות הנוסחא: $N(t)=N_0\cdot 2^{t/T}$
בנוסחה זו:
$N_0$ הוא מספר החידקים בזמן $t=0$ ו- $T$ משך הזמן הממוצע מהרגע שחידק נוצר ועד שהוא מתחלק. $N(t)$ הוא מספר החידקים בזמן $t$.

שאלה

התוכלו להעריך במשך כמה זמן צולם הסרטון שלמטה?

from IPython.display import HTML
HTML('<iframe width="640" height="390" src="//www.youtube.com/embed/gEwzDydciWc" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>')

בכל שניה של הסירטון מתפצל חיידק ל-2, וחיידק מפצל כל 20 דקות משמע שכל שמשכה של כל שניה של הסרטון הינו 20 דקות ולכן משך הסירטון הוא בערך 15*20*60 שניות שזה יוצא 18000 שניות כלומר 5 שעות

...

דוגמה

נניח כי אדם לוקח הלוואה לא צמודה בבנק בריבית של 5% לשנה. אם הקרן היא 1000 ₪ אזי אחרי שנה האדם יצטרך להחזיר לבנק סכום שגודלו: $$1000\cdot 1.05=1050 ₪$$ לאחר שנתיים סכום של: $$(1000\cdot 1.05)\cdot 1.05=1000\cdot1.05^2=1102.5₪$$ ולאחר שלוש שנים סכום שגודלו: $$((1000\cdot1.05)\cdot1.05)\cdot1.05=1000\cdot1.05^3=1157.625 ₪$$

גם בתרחיש זה אפשר לתאר את גודל הסכום אותו האדם יצטרך להחזיר כעבור זמן באמצעות הנוסחה $1000\cdot 1.05^t$ .

תרגילים

1. ייבאו את הסיפרייה- matplotlib.pyplot כ- plt.

import matplotlib.pyplot as plt
import sympy as sp

2. נניח כי צלחת פטרי מכילה 2 חיידקים. כל 20 שניות כל חיידק מתחלק.
a. צרו טבלה של מספר החיידקים כתלות בזמן מזמן אפס עד 5 דקות כל 20 שניות.
b. שרטטו גרף של מספר החיידקים כתלות בזמן . בעזרת הפקודות xlabel, ylabel ו-title השייכות לחבילה pyplot. תנו כותרות לגרף ולצירים.

import matplotlib.pyplot as plt
import sympy as sp
N0, T, t = sp.symbols("N0 T t")
N=N0*2**(t/T)
N=N.subs({N0:2,T:20})
x=range(0,320,20)
y = [N.subs({t:i}) for i in x]
plt.plot(x,y)
plt.xlabel('Time (S)')
plt.ylabel('N')
plt.title('Number of Bacteria Per Second')
plt.grid(True)
plt.show()

3.ייבאו את החבילה sympy כ- sp ושרטטו באמצעותה על מערכות צירים נפרדות את הגרפים של כל אחת מהפונקציות הבאות:

$$y(x)=1.2^x$$$$f(x)=4.2^x$$$$g(x)=7.3^x$$

##### %matplotlib -- inline
import sympy as sp
x=sp.symbols("x")
y=1.2**x
f=4.2**x
g=7.3**x
a=100
sp.plot(y,(x,-10,10),title="$y(x)$")
sp.plot(f,(x,-10,10),title="$f(X)$")
sp.plot(g,(x,-10,10),title="$g(x)$")

4.מה המשותף לכל הפונקציות?

#כולן שואפות ל- 0
#כשאיקס שואף למינוס אינסוף
#קצב גדילה, דעיכה אחידים
#כולן מעריכיות,אקספוננציאליות
#מזכיר log

#שנו את ערכי
 #   b ו-a c,בתחומים
#    $-5<b<5, 0.1<a<10$
#עבור איזה ערכים של a ו-b הפונקציה עולה? יורדת? קבועה?

%matplotlib -- inline
import sympy as sp

sp.var("x,a,b")

def graph(f,a1=1,b1=1):
    sp.plot(f.subs([(a,a1),(b,b1)]),(x,-3,3))
f = a**(b*x)
graph(f,1,4)
graph(f,4,0)
graph(f,2,4)
graph(f,2,-4)
#if a=1 or b=0 then f=constant
#if a>0 and b<0 then f'<0
#if a>0 and b>0 then f'>0

6. נתונה הפונקציה $1.5^x$. מצאו בעזרת כללי החזקה מספר d כך שייתקים $1.5^x=d^{0.25x}$.
אמתו את תשובתכם .

d=sp.symbols("d")
y=d**(0.25*x)
f=1.5**x
eq=sp.Eq(y,f)
dval=sp.solve(eq,[d])[0].subs([(x,1)])
dval

$$5.0625$$

7. מה הניגזרת של הפונקציה $f(x)=a^{b*x}$?

a,b,x=sp.symbols("a b x")
f=a**(b*x)
f.diff(x)

$$a^{b x} b \log{\left (a \right )}$$

8. נתונה הפונקציה $f(x)=a^x$. מצאו מה צריך להיות ערכו של a כדי שניגזרת הפונקציה בכל נקודה תהיה שווה לפונקציה.

sp.var('x a',real=True)
f=a**x
fdif=f.diff(x)
eq=sp.Eq(sp.log(a),1)
aval=sp.solve(eq,a)[0]
"a =",aval,"=",aval.evalf()

('a =', E, '=', 2.71828182845905)

9. נכנה בשם $e$ את המספר עבור מתקיים $\frac{d(e^x)}{dx}=e^x$.
א. מה ערכה של הפונקציה $e^x$ בנקודה x=0?
ב. מה שיפוע המשיק לגרף של$e^x$ בנקודה x=0?
ג. הסבירו מדוע שיפוע המיתר העובר דרך נקודת החיתוך של הגרף בציר ה-y ודרך הנקודה $(h,e^h)$ שווה ל- $\frac{e^h-1}{h}$.
ד. מדוע עבור $h$ קטן מאד, קרוב לאפס מתקיים $\frac{e^h-1}{h}\approx1$
ה. הראו כי בקרוב מתקיים $e\approx(1+h)^{\frac{1}{h}}$

f=sp.exp(x)
display(f.subs([(x,0)]))

$$1$$

fdif=f.diff(x)
display(fdif.subs([(x,0)]))

$$1$$

h=sp.symbols("h")
#The formula for calculating a slope of a straight line is (y-y0)/(x-x0), at the intersection point with the y axis x0=0 which means e**0=1 so y0=1. At the other point the x=h while the y=e**h. Thus we can calculate the slope:
x0=0
y0=fdif.subs([(x,x0)])
slope=(sp.exp(h)-y0)/(h-x0)
display(slope)

$$\frac{1}{h} \left(e^{h} - 1\right)$$

#When h is really really small the x is getting closer and closer to y=e**0=1 which is because e**h is almost 1 then e**h-1 is approaching to zero but it's almost h so because e**h-1~h then e**h~h+1, (e**h-1)/h~(h+1-1)/h~h/h~1

#Because e**h~h+1 as I found, then we can get to the h root which is (e**h)**(1/h)~(h+1)**(1/h) so from here we can show: e~(h+1)**(1/h)

10. ככל ש- $h$ קטן יותר כך הביטוי $(1+h)^h$ קרוב יותר לערכו של $e$. נתון כי $h=\frac{1}{x}$ הסבירו מדוע ערכו של הביטוי $(1+\frac{1}{x})^x$ מתקרב ל- $e$ עבור x גדול מאד.

#Because e~(h+1)**(1/h) then  e**(h**2)~(h+1)**h and we know that if h gets smaller then e**(h**2) will also get closer to e  
#e equals to n times 1 divided by n!(n approuches to infinity), and given x at this expression, the bigger the x the closer n is to infinity, thus, the closer it is to e. 
#Because when x gets smaller, h gets smaller too and when h gets smaller the value of (1+h)**h gets closer and closer to e

11. שרטטו גרף של הפונקציה $y(x)=(1+\frac{1}{x})^x$ ומצאו בעזרתו ערך מקורב ל- $e$. דייקו בלפחות שלוש ספרות אחרי הנקודה.

x=sp.symbols("x")
y=(1+1/x)**x
sp.plot(y,(x,0,10**5))
eValFromGraph=2.718
eVal=(1+1/(10**11))**(10**11)
eVal

$$2.71828205335711$$

12. כתבו פונקציה המקבלת פרמטר בשם delta. על הפונקציה להחזיר ערך מקורב ל- $e$ בשיעור delta. עשו זאת מבלי להשתמש בערך המדוייק של $e$.

import math
def approach_e1(n): #More accurate
    e=0
    for i in range(n+1):
        e+=1/(math.factorial(i))
    return e
def approach_e2(delta):
    e=(1+delta)**(1/delta)
    return e
display(approach_e1(10000),approach_e2(0.000000000001))

$$2.7182818284590455$$

$$2.7185234960372378$$