The_exponent_Function.ipynb

Kernel: SageMath (stable)

שמות:

%matplotlib -- inline

הפונקציה המעריכית ובסיס הלוגריתמים הטבעי e.

מה המשותף לגידול מושבת חיידקים, חישובי ריבית והתפרקות רדיואקטיבית? התשובה לשאלה זו היא הפונקציה המעריכית. הצורה הכללית של הפונקציה המעריכית היא: $f(x)=a^{b\cdot x}$ .
a ו- b הם פרמטרים. בסעיף זה תכירו את הפונקציה המעריכית ואת תכונותיה.

נתונה מושבת חיידקים בעלת משאבים לא מוגבלים. חיידק מתחלק בכל 20 דקות. אם מספר החיידקים בזמן מסוים הוא $N_0$ אזי כעבור 20 דקות מספרם יגדל ל-$2N_0$ וכעבור עוד 20 דקות מספרם יגדל ל-$4N_0$. השורה השנייה בטבלה מתארת את מספר החיידקים כתלות בזמן.

80	60	40	20	0	t(min)
$16N_0$	$8N_0$	$4N_0$	$2N_0$	$N_0$	$N$
$N_02^4$	$N_02^3$	$N_02^2$	$N_02^1$	$N_02^0$	$N$

השורה השלישית בטבלה מתארת את מספר החלקיקים כתלות במספר פרקי הזמן של 20 דקות שחלפו. אפשר לראות מהטבלה כי הביטוי הכללי למספר החיידקים כתלות בזמן הוא:

$$N(t)=N_0\cdot 2^{t/20}$$

בכל מקרה שבו מושבת חיידקים מתפתחת ללא מגבלה, ניתן למצוא את מספר החיידקים בזמן $t$ באמצעות הנוסחא: $N(t)=N_0\cdot 2^{t/T}$
בנוסחה זו:
$N_0$ הוא מספר החידקים בזמן $t=0$ ו- $T$ משך הזמן הממוצע מהרגע שחידק נוצר ועד שהוא מתחלק. $N(t)$ הוא מספר החידקים בזמן $t$.

שאלה

התוכלו להעריך במשך כמה זמן צולם הסרטון שלמטה?

from IPython.display import HTML
HTML('<iframe width="640" height="390" src="//www.youtube.com/embed/gEwzDydciWc" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>')

כיתבו את תשובתכם כאן. פרטו את חישוביכם

...

דוגמה

נניח כי אדם לוקח הלוואה לא צמודה בבנק בריבית של 5% לשנה. אם הקרן היא 1000 ₪ אזי אחרי שנה האדם יצטרך להחזיר לבנק סכום שגודלו: $$1000\cdot 1.05=1050 ₪$$ לאחר שנתיים סכום של: $$(1000\cdot 1.05)\cdot 1.05=1000\cdot1.05^2=1102.5₪$$ ולאחר שלוש שנים סכום שגודלו: $$((1000\cdot1.05)\cdot1.05)\cdot1.05=1000\cdot1.05^3=1157.625 ₪$$

גם בתרחיש זה אפשר לתאר את גודל הסכום אותו האדם יצטרך להחזיר כעבור זמן באמצעות הנוסחה $1000\cdot 1.05^t$ .

תרגילים

1. ייבאו את הסיפרייה- matplotlib.pyplot כ- plt.

import matplotlib.pyplot as plt

2. נניח כי צלחת פטרי מכילה 2 חיידקים. כל 20 שניות כל חיידק מתחלק.
a. צרו טבלה של מספר החיידקים כתלות בזמן מזמן אפס עד 5 דקות כל 20 שניות.
b. שרטטו גרף של מספר החיידקים כתלות בזמן . בעזרת הפקודות xlabel, ylabel ו-title השייכות לחבילה pyplot. תנו כותרות לגרף ולצירים.

import matplotlib.pyplot as plt
import sympy as sp
N0, T, t = sp.symbols("N0 T t")
N=N0*2**(t/T)
N=N.subs({N0:2,T:20})
x=range(0,320,20)
y = [N.subs({t:i}) for i in x]
plt.plot(x,y)
plt.xlabel('Time (S)')
plt.ylabel('N')
plt.title('Number of Bacteria Per Second')
plt.grid(True)
plt.show()

3.ייבאו את החבילה sympy כ- sp ושרטטו באמצעותה על מערכות צירים נפרדות את הגרפים של כל אחת מהפונקציות הבאות:

$$y(x)=1.2^x$$$$f(x)=4.2^x$$$$g(x)=7.3^x$$

import matplotlib.pyplot as plt
import sympy as sp
def plotFun(x,y):
    plt.plot(x,y)
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel('y')
    plt.grid(True)
    plt.show()
x=sp.symbols("x")
y=1.2**x
f=4.2**x
g=7.3**x
c=range(-20,21,1)
y1 = [y.subs({x:i}) for i in c]
y2 = [f.subs({x:i}) for i in c]
y3 = [g.subs({x:i}) for i in c]
plotFun(c,y1)
plotFun(c,y2)
plotFun(c,y3)
y1

[0.0260840533045888,
 0.0313008639655066,
 0.0375610367586079,
 0.0450732441103295,
 0.0540878929323954,
 0.0649054715188745,
 0.0778865658226494,
 0.0934638789871793,
 0.112156654784615,
 0.134587985741538,
 0.161505582889846,
 0.193806699467815,
 0.232568039361378,
 0.279081647233653,
 0.334897976680384,
 0.401877572016461,
 0.482253086419753,
 0.578703703703704,
 0.694444444444445,
 0.833333333333333,
 1,
 1.20000000000000,
 1.44000000000000,
 1.72800000000000,
 2.07360000000000,
 2.48832000000000,
 2.98598400000000,
 3.58318080000000,
 4.29981696000000,
 5.15978035200000,
 6.19173642240000,
 7.43008370688000,
 8.91610044825600,
 10.6993205379072,
 12.8391846454886,
 15.4070215745864,
 18.4884258895036,
 22.1861110674044,
 26.6233332808852,
 31.9479999370623,
 38.3375999244747]

4.מה המשותף לכל הפונקציות?

שיפוען גדל בצורה חדה 

5. הריצו את קטע הקוד שלמטה. שנו את ערכי b ו-a c,בתחומים $-5

עבור איזה ערכים של a ו-b הפונקציה עולה? יורדת? קבועה?

%matplotlib -- inline
import sympy as sp

sp.var("x,a,b")

def graph(f,a1=1,b1=1):
    sp.plot(f.subs([(a,a1),(b,b1)]),(x,-3,3))

f = a**(b*x)
for i in range(-5,6,1):
    for j in range(0,11,1):
        graph(f,j,i)
#the function is perment when when be equals to 0 and when a equals to 1, and it goes up when a is bigger than 1 and b is bigger than 0 or when a is smaller than 1 and b is smaller than 0, and it goes down when a is smaller than 1 and b is bigger than 0 or when a is bigger than one and b is smaller than 0

6. נתונה הפונקציה $1.5^x$. מצאו בעזרת כללי החזקה מספר d כך שייתקים $1.5^x=d^{0.25x}$.
אמתו את תשובתכם .

import sympy as sp
d, x= sp.symbols("d x")
eq = sp.Eq(1.5**x,d**(0.25*x))
dSol = sp.solve(eq,[d,x])[0][d]
dSol
#d=5.0625

(2.0**(-4.0*x)*3.0**(4.0*x))**(1/x)

7. מה הניגזרת של הפונקציה $f(x)=a^{b*x}$?

#f'(x)=a**(b+!)

8. נתונה הפונקציה $f(x)=a^x$. מצאו מה צריך להיות ערכו של a כדי שניגזרת הפונקציה בכל נקודה תהיה שווה לפונקציה.

sp.var('x a',real=True)
#a=1

(x, a)

9. נכנה בשם $e$ את המספר עבור מתקיים $\frac{d(e^x)}{dx}=e^x$.
א. מה ערכה של הפונקציה $e^x$ בנקודה x=0?
ב. מה שיפוע המשיק לגרף של$e^x$ בנקודה x=0?
ג. הסבירו מדוע שיפוע המיתר העובר דרך נקודת החיתוך של הגרף בציר ה-y ודרך הנקודה $(h,e^h)$ שווה ל- $\frac{e^h-1}{h}$.
ד. מדוע עבור $h$ קטן מאד, קרוב לאפס מתקיים $\frac{e^h-1}{h}\approx1$
ה. הראו כי בקרוב מתקיים $e\approx(1+h)^{\frac{1}{h}}$

#אין לה ערך מכיוון שהמכנה שווה ל0
#אין למשיק שיפוע  

10. ככל ש- $h$ קטן יותר כך הביטוי $(1+h)^h$ קרוב יותר לערכו של $e$. נתון כי $h=\frac{1}{x}$ הסבירו מדוע ערכו של הביטוי $(1+\frac{1}{x})^x$ מתקרב ל- $e$ עבור x גדול מאד.

#e equals to n times 1 divided by n!(n approuches to infinity), and in this equasasion the higher the x is, the closer n is to infinity, thus, the closer it is to e. 

11. שרטטו גרף של הפונקציה $y(x)=(1+\frac{1}{x})^x$ ומצאו בעזרתו ערך מקורב ל- $e$. דייקו בלפחות שלוש ספרות אחרי הנקודה.

import matplotlib.pyplot as plt
import sympy as sp
def plotFun(x,y):
    plt.plot(x,y)
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel('y')
    plt.grid(True)
    plt.show()
x=sp.symbols("x")
y=(1+1/x)**x
c=range(0,1000,1)
y1 = [y.subs({x:i}) for i in c]
plotFun(c,y1)
e=(1+1/10000)**10000
e

2.7181459268249255

12. כתבו פונקציה המקבלת פרמטר בשם delta. על הפונקציה להחזיר ערך מקורב ל- $e$ בשיעור delta. עשו זאת מבלי להשתמש בערך המדוייק של $e$.

def approuch_e(delta):
    e=(1+delta)**(1/delta)
    return e