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Kernel: SageMath 7.3

La notion de fonction symbolique

In [ ]:

# La notion de fonction symbolique
g=function("g")
f(x)=g(2*x)
diff(f(x))

Polynômes de Bernstein et de Riesenfeld

In [ ]:

# Bernstein
# \newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}t^{i} {\left(-t + 1\right)}^{-i + n} {n \choose i}


var("n i t")
B(i,n,t)=binomial(n, i)*t^i*(1-t)^(n-i)
show(B(i,n,t))

In [ ]:

for n in srange(10):
    print "n =", n
    for i in range(n+1):
        print n, i, B(i,n,t).expand()
    print '-----'

In [ ]:

# Polynôme de Riesenfeld

var("i j n t")
riesenfeld(i, n, t)=(n+1)*sum((-1)^j*(t+n-i-j)^n/(factorial(j)*factorial(n-j+1)),j,0,n-i)
r=riesenfeld(4, 5)
print r
print r.expand_sum()

La méthode `expand_sum`

Elle sert à forcer l'évaluation dans certaines sommes :

In [ ]:

s(j, n)=sum((i+j)^n, i, j, 2*j)
v=s(5, 2)
print v
print v.expand_sum()

Identité $\sum_{k=0}^n {k \choose n}^2 = {2n \choose n}$

In [ ]:

var("n k")
d(n)=sum(binomial(n,k)^2, k, 0,n)-binomial(2*n, n)
for n in srange(10):
    print d(n)

In [ ]:

var("n k")
bool(sum(binomial(n,k)^2, k, 0,n)==binomial(2*n, n))

In [ ]:

var("h P0")
P(h, P0)=(6400/(6400+h))^2*P0

In [ ]:

P0=70
plot(P(h, P0), (0,40000), ymin=-1)+plot(P0/2, (0,10000), ymin=-1, color='red')

Une fonction de poids

In [ ]:

s=solve(P(h,P0)==P0/2, h)
print s

In [ ]:

print RR(s[0].rhs())
print RR(s[1].rhs())

In [ ]:

s=solve(P(h,P0)==2.5, h)
print s

In [ ]:

print RR(s[0].rhs())
print RR(s[1].rhs())

Distance de freinage

In [ ]:

var('v')
d(v)=v^2/150+v/5
print RR(d(80))

In [ ]:

plot(d(v), (0,200))

In [ ]:

s=solve(d(v)<=50, v)
print s

In [ ]:

RR(s[0][1].rhs())

Optimiser son temps

In [ ]:

t(x)=sqrt(9+x^2)/4+(14-x)/5
plot(t(x), (0,14))

Des formules pour en trouver d'autres

In [ ]:

f(x)=cos(x-pi)-sin(-pi-x)+cos(pi+x)-sin(-x)
f(x).simplify_full()

In [ ]:

f(x)=(cos(x)+sin(x))^2-(cos(x)-sin(x))^2

f(x).simplify_full()

In [ ]:

a=cos(pi/9)*cos(2*pi/9)*cos(4*pi/9)
a.canonicalize_radical()

In [ ]:

import sympy
a=cos(pi/9)*cos(2*pi/9)*cos(4*pi/9)
sympy.simplify(a)

In [ ]:

a=8*sin(x)*cos(x)*cos(2*x)*cos(4*x)
sympy.simplify(a)

In [ ]:

a=cos(x)+cos(x+2*pi/3)+cos(x+4*pi/3)
a.simplify_trig()

In [ ]:

a=cos(x)^4+sin(x)^4+1/2*sin(2*x)^2-1
a.simplify_trig()

In [ ]:

# Somme de courbes
sum([plot(x^2), plot(x^3)])

Les fameuses équations trigonométriques

In [ ]:

solve(sin(2*x)==-sqrt(3)/2, x)

In [ ]:

plot([sin(2*x),-sqrt(3)/2], (x, -2*pi, 2*pi))+point((-pi/6, -sqrt(3)/2), color='red')

In [ ]:

solve(cos(x)^2==sin(pi/7)^2, x)

In [ ]:

def graphic_solve(f, g, A=5):
    (plot(f(x), (x, -A, A))+plot(g(x), (x, -A, A), color='red')).show()

In [ ]:

In [3]:

f(x)=cos(x)^2
g(x)=sin(pi/7)^2
graphic_solve(f, g)

(Output Hidden)

Etude d'une équation trigonométrique

On pose $f(x)= \cos(3x-\frac \pi 4)$ .

Tracer la graphe $\mathcal{C}$ de $f$ .
Montrer que $p=\frac{2\pi}3$ est une période de $f$ .

2)a) Déterminer un point $q$ tel que $f$ atteigne son maximum en $q$ (on recherchera avec la fonction solve une racine de la dérivée de $f$ ).

b) Montrer que la droite d'équation $x=q$ est axe de symétrie de la courbe $y=f(x)$ .

Soit l'équation $(E):\quad \cos\left(3x-\frac \pi 4\right)=-\frac{1}2$

a) Trouver une solution de l'équation en utilisant la fonction solve.

b) En utilisant l'axe de symétrie de $\mathcal{C}$ , trouver une autre solution de $(E)$ .

c) Faire apparaître avec des points de taille 25 tous les solutions $x\in[-2\pi, 2\pi]$ de l'équation $(E)$ .

In [4]:

f(x)=cos(3*x-pi/4)
plot(f(x), (-2*pi, 2*pi))

(Output Hidden)

In [44]:

p=2*pi/3
print (f(x+p)-f(x)).simplify_trig()

(Output Hidden)

In [47]:

s=solve(diff(f(x),x), x)
print s

(Output Hidden)

In [48]:

q=s[0].rhs()
q

(Output Hidden)

In [51]:

(f(q+x)-f(q-x)).simplify_trig()

(Output Hidden)

In [53]:

s=solve(f(x)==-1/2,x)

In [54]:

r=s[0].rhs()
r

(Output Hidden)

In [56]:

s=solve((x+r)/2==q,x)

In [58]:

rr=s[0].rhs()
rr, r+p

(Output Hidden)

In [70]:

A=10
B=2*pi
Z=[r+k*p for k in range(-A,A) if -2*pi<= r+k*p<= 2*pi]+[rr+k*p for k in range(-A,A) if -2*pi<= rr+k*p<= 2*pi]
P=points([(z, f(z)) for z in Z], size=30, color='red')
pf=plot(f(x), (-B, B))
pg=plot(-1/2, (-B, B), color='red')
(pf+pg+P).show()

(Output Hidden)

Une fonction en morceaux, continue ou pas

In [ ]:

plot(1-x, (-5,1))+plot(x^2+x-2, (1,2))+plot(-4*x-2, (2,5))

In [11]:

point?

Résolution de systèmes linéaires

In [6]:

var("x y z")
eq=[x+y-z==1, 2*x-y+z==2, 3*x+2*y-3*z==2]
solve(eq, x, y, z)

(Output Hidden)

In [7]:

var("x y z")
eq=[y-3*z==-1, 1*x+0*y+z==-2, 2*x-2*y+5*z==-5]
solve(eq, x, y, z)

(Output Hidden)

In [8]:

var("x1 x2 x3 x4")
eq=[1*x1+2*x2+-1*x3+1*x4==6,2*x1+0*x2+1*x3+-2*x4==-3, 1*x1+-1*x2+-1*x3+4*x4==3, -1*x1+3*x2+2*x3+-2*x4==2]
solve(eq, x1, x2, x3, x4)

(Output Hidden)

In [9]:

var("x y z t")
eq=[z+t==1, z+y==2,x+y==3]
solve(eq, x, y, z, t)

(Output Hidden)

Système 2x2 avec un paramètre

Résoudre et discuter des solutions en fonction du paramètre réel $m$ le système linéaire : $(S):\quad \begin{cases} mx+y&=&1\\ x+my&=&1 % \end{cases}$

In [39]:

var("x y m")
eq(m)=[m*x+y==1, x+m*y==1]
print eq(m)
solve(list(eq(m)), x, y)

(Output Hidden)

In [40]:

solve(list(eq(-1)), x, y)

(Output Hidden)

Système 3x3 avec trois paramètres

Soit le système $(S):\quad \begin{cases} x+2y-z&=&a\\ -2x-2y+3z&=&b\\ % % x+y-2z&=&c\end{cases}$ où $a$ , $b$ et $c$ désignent des paramètres réels. On cherche des conditions nécessaires et suffisantes portant sur $a$ , $b$ et $c$ pour que $(S)$ admette une solution.

Essayez de résoudre le système avec solve.
Essayer de résoudre $(S)$ comme un système ayant 6 inconnues.

3)a) Résoudre le système, d'inconnues $x$ et $y$ , formé des deux premières équations.

b) Remplacer les solutions obtenues dans la 3ème équation.

c) Résoudre le système.

In [59]:

var("x y z a b c")
print solve([1*x+2*y+-1*z==a,-2*x+-3*y+3*z==b,1*x+1*y+-2*z==c], x, y, z)
print solve([1*x+2*y+-1*z==a,-2*x+-3*y+3*z==b,1*x+1*y+-2*z==c], a, b,c, x, y, z)

(Output Hidden)

In [52]:

sol=solve([1*x+2*y+-1*z==a,-2*x+-3*y+3*z==b], x, y)
print sol

(Output Hidden)

In [56]:

# extraction de x et de y
xy=[expr.rhs() for expr in sol[0]]
print xy

(Output Hidden)

In [57]:

eq3=1*x+1*y+-2*z
eq3.subs(x=xy[0], y=xy[1])

(Output Hidden)

Système 3x3 avec un paramètre

Résoudre et discuter des solutions en fonction du paramètre réel $m$ le système linéaire : $(S):\quad \begin{cases} mx+y+z&=&m\\ x+y+mz&=&m\\ % % x+my+z&=&m\end{cases}$

In [64]:

var("x y z m")
eqns(m)=[m*x+1*y+1*z==m,1*x+1*y+m*z==m,1*x+m*y+1*z==m]
print solve(list(eqns(m)), x, y, z)

(Output Hidden)

In [65]:

print solve(list(eqns(-2)), x, y, z)

(Output Hidden)

In [66]:

var("x y z m")
eqns(m)=[m*x+1*y+1*z==m,1*x+1*y+m*z==m,1*x+m*y+1*z==m]
eq=eqns(-2)
eq

(Output Hidden)

In [68]:

s=solve(list(eq[:2]), x, y)
print s

(Output Hidden)

In [69]:

xy=[egal.rhs() for egal in s[0]]
print xy

(Output Hidden)

In [70]:

eq3=eq[-1]

In [71]:

eq3

(Output Hidden)

In [72]:

eq3.lhs().subs(x=xy[0], y=xy[1])

(Output Hidden)

Système 4x3 avec un paramètre

Résoudre et discuter des solutions en fonction du paramètre réel $a$ le système linéaire : $(S):\quad \begin{cases} 3x+4y+z+2t&=&3\\ 6x+8y+2z+5t&=&7\\ 9x+12y+3z+10t&=&a \end{cases}$

On résoudra le système formé des deux premières équations.

In [16]:

var("x y z t a")
eqns(a)=[3*x+4*y+1*z+2*t==3,6*x+8*y+2*z+5*t==7,9*x+12*y+3*z+10*t==a]
eqns(a)
sol=solve(list(eqns[:2]), x, y, z, t)
print sol

(Output Hidden)

In [20]:

# récupération des deux variables libres
s=set()
for tt in [expr.args() for expr in sol[0]]:
    s|=set(tt)
param=list(s-set([x, y, z,t]))
print param

(Output Hidden)

In [21]:

# réécriture des solutions en fonction de variables déclarées u et v
var("u v")
xyzt=[expr.subs({param[0]:u, param[1]:v}) for expr in sol[0]]
print xyzt

(Output Hidden)

In [22]:

# remplacement dans la dernière équation

eqns(a)[2].subs(x=xyzt[0].rhs(),y=xyzt[1].rhs(),z=xyzt[2].rhs(),t=xyzt[3].rhs())

(Output Hidden)

In [24]:

# cas particulier a=13


sol=solve([3*x+4*y+1*z+2*t==3,6*x+8*y+2*z+5*t==7,9*x+12*y+3*z+10*t==13], x, y, z, t)
print sol

(Output Hidden)

Parabole passant par trois points

In [22]:

A=(-2,3)
B=(-5, 60)
C=(3,28)

var("a b c")

P(x)=a*x^2+b*x+c

sol=solve([P(u)==v for (u,v) in [A, B, C]], a, b, c)
print sol

(Output Hidden)

In [23]:

abc=[expr.rhs() for expr in sol[0]]
a, b, c = abc
print a, b, c, P(1)

(Output Hidden)

In [24]:

P(x)=P(x).subs(a=a, b=b, c=c)

In [26]:

p=plot(P(x), (-6,4))
nodes=point([A, B, C], color="red", size=25)
show(p+nodes)

(Output Hidden)

Les fonctions hyperboliques

In [29]:

(cosh(x)^2-sinh(x)^2).simplify_full()

(Output Hidden)

In [32]:

diff(tanh(x),x)

(Output Hidden)

In [48]:

A=5
B=5
pcos=plot(cosh, (-A,A))
psin=plot(sinh, (-A,A), color='red')
ptan=plot(tanh, (-A,A), color='orange')
pasympt=plot([-1,1], (-A,A), color='green')
show(pcos+psin+ptan+pasympt, ymax=B, ymin=-B)

(Output Hidden)

In [49]:

(sinh(x)-tanh(x)).factor()

(Output Hidden)

In [ ]:

In [ ]:

La notion de fonction symbolique

Polynômes de Bernstein et de Riesenfeld

La méthode `expand_sum`

Identité $\sum_{k=0}^n {k \choose n}^2 = {2n \choose n}$

Une fonction de poids

Distance de freinage

Optimiser son temps

Des formules pour en trouver d'autres

Les fameuses équations trigonométriques

Etude d'une équation trigonométrique

Une fonction en morceaux, continue ou pas

Résolution de systèmes linéaires

Système 2x2 avec un paramètre

Système 3x3 avec trois paramètres

Système 3x3 avec un paramètre

Système 4x3 avec un paramètre

Parabole passant par trois points

Les fonctions hyperboliques

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La notion de fonction symbolique

Polynômes de Bernstein et de Riesenfeld

La méthode expand_sum

Identité ∑k=0n(kn)2=(2nn)\sum_{k=0}^n {k \choose n}^2 = {2n \choose n}∑k=0n​(nk​)2=(n2n​)

Une fonction de poids

Distance de freinage

Optimiser son temps

Des formules pour en trouver d'autres

Les fameuses équations trigonométriques

Etude d'une équation trigonométrique

Une fonction en morceaux, continue ou pas

Résolution de systèmes linéaires

Système 2x2 avec un paramètre

Système 3x3 avec trois paramètres

Système 3x3 avec un paramètre

Système 4x3 avec un paramètre

Parabole passant par trois points

Les fonctions hyperboliques

La méthode `expand_sum`

Identité $\sum_{k=0}^n {k \choose n}^2 = {2n \choose n}$